Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem15 39760
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem15.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem15.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem15.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem15.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem15.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem15 (𝜑𝑇 = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem15
StepHypRef Expression
1 etransclem15.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
3 iftrue 4069 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5 iffalse 4072 . . . . . . . 8 (¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
7 etransclem15.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = 0)
87oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
10 etransclem15.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
12 1zzd 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1311, 12zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
14 etransclem15.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
15 etransclem15.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
1715, 16syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
18 eluzfz1 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2014, 19ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
2120elfzelzd 38981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
2213, 21zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2421zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2613zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
2925, 27, 28nltled 10132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
30 etransclem15.cpm1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
3130necomd 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3325, 27, 29, 32leneltd 10136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) < (𝑃 − 1))
3425, 27posdifd 10559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3533, 34mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
36 elnnz 11332 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3723, 35, 36sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ)
38370expd 12961 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
399, 38eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
4039oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0))
41 nnm1nn0 11279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4342faccld 13008 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
4443nncnd 10981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4637nnnn0d 11296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
4746faccld 13008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℕ)
4847nncnd 10981 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℂ)
4947nnne0d 11010 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ≠ 0)
5045, 48, 49divcld 10746 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℂ)
5150mul01d 10180 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0) = 0)
526, 40, 513eqtrd 2664 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
534, 52pm2.61dan 831 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5453oveq1d 6620 . . . 4 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
557, 19eqeltrd 2704 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
5610, 14, 55etransclem7 39752 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
5756zcnd 11427 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
5857mul02d 10179 . . . 4 (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
5954, 58eqtrd 2660 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
6059oveq2d 6621 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0))
61 etransclem15.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6261faccld 13008 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6362nncnd 10981 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
64 fzfid 12709 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
65 fzssnn0 38984 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
6614ffvelrnda 6316 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
6765, 66sseldi 3586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
6867faccld 13008 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
6968nncnd 10981 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7064, 69fprodcl 14602 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7168nnne0d 11010 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7264, 69, 71fprodn0 14629 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7363, 70, 72divcld 10746 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
7473mul01d 10180 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0) = 0)
752, 60, 743eqtrd 2664 1 (𝜑𝑇 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  ifcif 4063   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   < clt 10019  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  cexp 12797  !cfa 12997  cprod 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556
This theorem is referenced by:  etransclem28  39773
  Copyright terms: Public domain W3C validator