MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znrrg 19833
Description: The regular elements of ℤ/n are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only ±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znrrg.e 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znrrg (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11243 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 znchr.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 eqid 2621 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
52, 3, 4znzrhfo 19815 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
7 znrrg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
87, 3rrgss 19211 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ (Base‘𝑌)
98sseli 3579 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
10 foelrn 6334 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
116, 9, 10syl2an 494 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
1211ex 450 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)))
13 nncn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℂ)
15 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ ℤ)
16 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1716ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 nnne0 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 0)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120necon3ai 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23 gcdn0cl 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2415, 17, 22, 23syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2524nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
2624nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ≠ 0)
2714, 25, 26divcan2d 10747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28 gcddvds 15149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2915, 17, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3029simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛)
3124nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
3229simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
33 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
34 nndivdvds 14913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
3533, 24, 34syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
3632, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
38 dvdsmulc 14933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
3931, 15, 37, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
4127, 40eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸)
431ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
45 fof 6072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
4746, 37ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌))
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑌) = (.r𝑌)
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑌) = (0g𝑌)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 19208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌)))
5142, 47, 50syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌)))
522zncrng 19812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
54 crngring 18479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
5655ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ Ring)
574zrhrhm 19779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
59 zringbas 19743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ = (Base‘ℤring)
60 zringmulr 19746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℤring)
6159, 60, 48rhmmul 18648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6258, 15, 37, 61syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6362eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌)))
6415, 37zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
652, 4, 49zndvds0 19818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6643, 64, 65syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6763, 66bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
682, 4, 49zndvds0 19818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
6943, 37, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7051, 67, 693imtr3d 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7214, 25, 26divcan1d 10746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
7336nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℂ)
7473mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7571, 72, 743brtr4d 4645 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1))
76 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
7736nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)
78 dvdscmulr 14934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1327 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
8075, 79mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1)
8115, 17gcdcld 15154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
82 dvds1 14965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8480, 83mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (Unit‘𝑌)
862, 85, 4znunit 19831 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8743, 15, 86syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8884, 87mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)
8988ex 450 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
90 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸))
91 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
9290, 91imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → ((𝑥𝐸𝑥𝑈) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)))
9389, 92syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸𝑥𝑈)))
9493rexlimdva 3024 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸𝑥𝑈)))
9594com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → 𝑥𝑈)))
9612, 95mpdd 43 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸𝑥𝑈))
9796ssrdv 3589 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸𝑈)
987, 85unitrrg 19212 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑈𝐸)
9955, 98syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈𝐸)
10097, 99eqssd 3600 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  Unitcui 18560   RingHom crh 18633  RLRegcrlreg 19198  ringzring 19737  ℤRHomczrh 19767  ℤ/nczn 19770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-rlreg 19202  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-zn 19774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator