Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isosctrlem1 24542
 Description: Lemma for isosctr 24545. (Contributed by Saveliy Skresanov, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≠ π)

Proof of Theorem isosctrlem1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9991 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2 subcl 10277 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
5 subeq0 10304 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
65notbid 308 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (¬ (1 − 𝐴) = 0 ↔ ¬ 1 = 𝐴))
71, 6mpan 706 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (1 − 𝐴) = 0 ↔ ¬ 1 = 𝐴))
87biimpar 502 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → ¬ (1 − 𝐴) = 0)
98neqned 2800 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
104, 9logcld 24311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (log‘(1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
1110imcld 13929 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12113adant2 1079 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ ℝ)
1333ad2ant1 1081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
1493adant2 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
15 releabs 14055 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴))
17 breq2 4655 . . . . . . . . . 10 ((abs‘𝐴) = 1 → ((ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) ≤ 1))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) ≤ 1))
1916, 18mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (ℜ‘𝐴) ≤ 1)
20 recl 13844 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2120recnd 10065 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
2221subidd 10377 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = 0)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = 0)
24 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524recld 13928 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
26 1red 10052 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
27 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → (ℜ‘𝐴) ≤ 1)
2825, 26, 25, 27lesub1dd 10640 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ≤ (1 − (ℜ‘𝐴)))
2923, 28eqbrtrrd 4675 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≤ 1) → 0 ≤ (1 − (ℜ‘𝐴)))
3019, 29syldan 487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 0 ≤ (1 − (ℜ‘𝐴)))
31 resub 13861 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘𝐴)))
32 re1 13888 . . . . . . . . . . 11 (ℜ‘1) = 1
3332oveq1i 6657 . . . . . . . . . 10 ((ℜ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = (1 − (ℜ‘𝐴))
3431, 33syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − 𝐴)) = (1 − (ℜ‘𝐴)))
351, 34mpan 706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(1 − 𝐴)) = (1 − (ℜ‘𝐴)))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (ℜ‘(1 − 𝐴)) = (1 − (ℜ‘𝐴)))
3730, 36breqtrrd 4679 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 0 ≤ (ℜ‘(1 − 𝐴)))
38373adant3 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(1 − 𝐴)))
39 argrege0 24351 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(1 − 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
40 neghalfpirx 24212 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
41 halfpire 24210 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
4241rexri 10094 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
43 iccleub 12226 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2))
4440, 42, 43mp3an12 1413 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2))
4539, 44syl 17 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(1 − 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2))
4613, 14, 38, 45syl3anc 1325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2))
47 pirp 24207 . . . . 5 π ∈ ℝ+
48 rphalflt 11857 . . . . 5 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4947, 48ax-mp 5 . . . 4 (π / 2) < π
5046, 49jctir 561 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → ((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) < π))
51 pire 24204 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
5251a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → π ∈ ℝ)
5352rehalfcld 11276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (π / 2) ∈ ℝ)
54 lelttr 10125 . . . . 5 (((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) < π))
5511, 53, 52, 54syl3anc 1325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) < π))
56553adant2 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (((ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≤ (π / 2) ∧ (π / 2) < π) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) < π))
5750, 56mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) < π)
5812, 57ltned 10170 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) = 1 ∧ ¬ 1 = 𝐴) → (ℑ‘(log‘(1 − 𝐴))) ≠ π)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  -cneg 10264   / cdiv 10681  2c2 11067  ℝ+crp 11829  [,]cicc 12175  ℜcre 13831  ℑcim 13832  abscabs 13968  πcpi 14791  logclog 24295 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625  df-log 24297 This theorem is referenced by:  isosctrlem2  24543
 Copyright terms: Public domain W3C validator