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Theorem pgpfac1lem2 18395
Description: Lemma for pgpfac1 18400. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3568 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
31eldifad 3567 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝑈)
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
7 pgpprm 17929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmz 15313 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 · = (.g𝐺)
1211subgmulgcl 17528 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑈) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
135, 10, 3, 12syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
15 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
1614, 15eldifd 3566 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 18394 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
3316, 32syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
344, 33eleqtrrd 2701 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})))
3534ex 450 . . . 4 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}))))
36 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
37 ablgrp 18119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3919subgacs 17550 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4140acsmred 16238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4219subgss 17516 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐵)
4443, 27sseldd 3584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4517mrcsncl 16193 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4641, 44, 45syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4718, 46syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4823lsmsubg2 18183 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4924, 47, 28, 48syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5043, 13sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
5117mrcsncl 16193 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5241, 50, 51syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 17987 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
54 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
5519, 11, 54, 17cycsubg2 17552 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5638, 50, 55syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5756rexeqdv 3134 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
58 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
5958rgenw 2919 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
60 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝑠(-g𝐺)𝑡) = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6160eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6254, 61rexrnmpt 6325 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6359, 62mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6457, 63bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6564rexbidv 3045 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
66 rexcom 3091 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6738ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐺 ∈ Grp)
6830, 43sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
7069sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑠𝐵)
71 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7250ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7319, 11mulgcl 17480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7467, 71, 72, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7543, 3sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝐵)
7675ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝐵)
77 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7819, 77, 36grpsubadd 17424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠𝐵 ∧ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵𝐶𝐵)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1325 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
80 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
8110ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8271, 81zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
8319, 11, 77mulgdir 17494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8519, 11mulg1 17469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐵 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8676, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8719, 11mulgass 17500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8986, 88oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9084, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9190eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
9279, 91bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠))
93 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶)
94 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠)
9592, 93, 943bitr4g 303 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ 𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
9695rexbidva 3042 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
97 risset 3055 . . . . . . . 8 (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶))
9896, 97syl6bbr 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
9998rexbidva 3042 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10066, 99syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10153, 65, 1003bitrd 294 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10235, 101sylibd 229 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10338adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
10475adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶𝐵)
105 1z 11351 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
106 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
107 zmulcl 11370 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
108106, 10, 107syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
109 zaddcl 11361 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
110105, 108, 109sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
11119, 20odcl 17876 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
112104, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 11424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℤ)
114 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
11525, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
116115nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
117116adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
118 gcdcom 15159 . . . . . . . . 9 (((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
119110, 117, 118syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
12019pgphash 17943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
1216, 25, 120syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
122121adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (#‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
123122oveq1d 6619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((#‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
124 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12510adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
126 1zzd 11352 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
127 gcdaddm 15170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
128124, 125, 126, 127syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
129 gcd1 15173 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 gcd 1) = 1)
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = 1)
131128, 130eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
13219grpbn0 17372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
13338, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
134 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
13525, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
136133, 135mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
1378, 136pccld 15479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
138137adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
139 rpexp1i 15357 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
140125, 110, 138, 139syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
141131, 140mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
142119, 123, 1413eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (#‘𝐵)) = 1)
14319, 20oddvds2 17904 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝑂𝐶) ∥ (#‘𝐵))
14438, 25, 75, 143syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐶) ∥ (#‘𝐵))
145144adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∥ (#‘𝐵))
146 rpdvds 15298 . . . . . . 7 ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐶) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (#‘𝐵)) = 1 ∧ (𝑂𝐶) ∥ (#‘𝐵))) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
147110, 113, 117, 142, 145, 146syl32anc 1331 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
14819, 20, 11odbezout 17896 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ) ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
149103, 104, 110, 147, 148syl31anc 1326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
15049ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
151 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
15211subgmulgcl 17528 . . . . . . . . 9 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊))
1531523expia 1264 . . . . . . . 8 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
154150, 151, 153syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
155 eleq1 2686 . . . . . . . 8 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
156155imbi2d 330 . . . . . . 7 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)) ↔ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
157154, 156syl5ibcom 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
158157rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
159149, 158mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
160159rexlimdva 3024 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
161102, 160syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
1622, 161mt3d 140 1 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  wpss 3556  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cexp 12800  #chash 13057  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  cprime 15309   pCnt cpc 15465  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  .gcmg 17461  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865  gExcgex 17866   pGrp cpgp 17867  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-od 17869  df-pgp 17871  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18398
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