MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 24846
Description: Lemma for fta 24851. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius 𝑟 where 𝑟 is the value coming from ftalem1 24844; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
ftalem3.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑧,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑦,𝐹,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
2 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅} ⊆ ℂ
31, 2eqsstri 3668 . . 3 𝐷 ⊆ ℂ
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopon 22633 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
6 resttopon 21013 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
75, 3, 6mp2an 708 . . . . . 6 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
87toponunii 20769 . . . . 5 𝐷 = (𝐽t 𝐷)
9 eqid 2651 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
10 cnxmet 22623 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
12 0cn 10070 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 11911 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
164cnfldtopn 22632 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1817cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
1912, 18mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
20 df-neg 10307 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 − 𝑦)
2120fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘-𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦))
22 absneg 14061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘-𝑦) = (abs‘𝑦))
2321, 22syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) = (abs‘𝑦))
2419, 23eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘𝑦))
2524breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅))
2625rabbiia 3215 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
271, 26eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅}
2816, 27blcld 22357 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2911, 13, 15, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
3014rpred 11910 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
31 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
3231breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3332, 1elrab2 3399 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3433simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
3534rgen 2951 . . . . . . 7 𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅
36 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑅 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑠 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3736ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑅 → (∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3837rspcev 3340 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
3930, 35, 38sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
40 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝐷) = (𝐽t 𝐷)
414, 40cnheibor 22801 . . . . . . 7 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)))
423, 41ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠))
4329, 39, 42sylanbrc 699 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
45 plycn 24062 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
47 abscncf 22751 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4946, 48cncfco 22757 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
50 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
51 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
524cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ Top
535toponunii 20769 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = 𝐽
5453restid 16141 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ℂ) = 𝐽)
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐽t ℂ) = 𝐽
5655eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽t ℂ)
574tgioo2 22653 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
584, 56, 57cncfcn 22759 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
5950, 51, 58mp2an 708 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,)))
6049, 59syl6eleq 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
6153cnrest 21137 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
6260, 3, 61sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
6314rpge0d 11914 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
64 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = (abs‘0))
65 abs0 14069 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
6664, 65syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = 0)
6766breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
6867, 1elrab2 3399 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ 𝑅))
6913, 63, 68sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
70 ne0i 3954 . . . . . 6 (0 ∈ 𝐷𝐷 ≠ ∅)
7169, 70syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
728, 9, 43, 62, 71evth2 22806 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥))
73 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
7473ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
75 plyf 23999 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
7644, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7776ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
78 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧𝐷)
793, 78sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧 ∈ ℂ)
80 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
8177, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
8274, 81eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
83 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
8483adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
85 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
863, 85sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
87 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8877, 86, 87syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8984, 88eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
9082, 89breq12d 4698 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9190ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐷) → (∀𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9291rexbidva 3078 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
9372, 92mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
94 ssrexv 3700 . . 3 (𝐷 ⊆ ℂ → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
953, 93, 94mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
9669adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ 𝐷)
97 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
9897fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘0)))
9998breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
10099rspcv 3336 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
10196, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
10276ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
104102, 12, 103sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
105104abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
106 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
107106eldifad 3619 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
108102, 107ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
109108abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
110 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
111110ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
112106eldifbd 3620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
11333baib 964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
114107, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
115112, 114mtbid 313 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
11630ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ)
117107abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
118116, 117ltnled 10222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑅 < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
119115, 118mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 < (abs‘𝑥))
120 rsp 2958 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
121111, 107, 119, 120syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))
122105, 109, 121ltled 10223 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
123 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑧 ∈ ℂ)
124102, 123ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
125124abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
126 letr 10169 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
127125, 105, 109, 126syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
128122, 127mpan2d 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
129128ralrimdva 2998 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
130101, 129syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
131130ancld 575 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
132 ralunb 3827 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
133 undif2 4077 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = (𝐷 ∪ ℂ)
134 ssequn1 3816 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ ℂ ↔ (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ)
1353, 134mpbi 220 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ
136133, 135eqtri 2673 . . . . . 6 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = ℂ
137136raleqi 3172 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
138132, 137bitr3i 266 . . . 4 ((∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
139131, 138syl6ib 241 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
140139reximdva 3046 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
14195, 140mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  +crp 11870  (,)cioo 12213  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868   Cn ccn 21076  Compccmp 21237  cnccncf 22726  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
This theorem is referenced by:  fta  24851
  Copyright terms: Public domain W3C validator