Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem1 40045
Description: 𝐼 is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem1.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem1.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
wallispilem1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem1
StepHypRef Expression
1 0re 10025 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3 pire 24191 . . . . 5 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 wallispilem1.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 peano2nn0 11318 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8 iblioosinexp 39931 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
92, 4, 7, 8syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
10 iblioosinexp 39931 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
112, 4, 5, 10syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
12 elioore 12190 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312resincld 14854 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
157adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1614, 15reexpcld 13008 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
175adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1814, 17reexpcld 13008 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
195nn0zd 11465 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 uzid 11687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
22 peano2uz 11726 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2513, 1jctil 559 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ))
26 sinq12gt0 24240 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝑥))
27 ltle 10111 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘𝑥) → 0 ≤ (sin‘𝑥)))
2825, 26, 27sylc 65 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
2928adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
30 sinbnd 14891 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
3112, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
3231simprd 479 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
3332adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
3414, 17, 24, 29, 33leexp2rd 13025 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ≤ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
359, 11, 16, 18, 34itgle 23557 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ≤ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
36 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝑛 = (𝑁 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
3837itgeq2dv 23529 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
39 wallispilem1.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
40 itgex 23518 . . . 4 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6269 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
427, 41syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
43 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
4443adantr 481 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
4544itgeq2dv 23529 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
46 itgex 23518 . . . 4 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
4745, 39, 46fvmpt 6269 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
485, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
4935, 42, 483brtr4d 4676 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  -cneg 10252  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  (,)cioo 12160  cexp 12843  sincsin 14775  πcpi 14778  𝐿1cibl 23367  citg 23368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370  df-itg2 23371  df-ibl 23372  df-itg 23373  df-0p 23418  df-limc 23611  df-dv 23612
This theorem is referenced by:  wallispilem5  40049
  Copyright terms: Public domain W3C validator