Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem1 38863
Description: 𝐼 is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem1.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem1.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
wallispilem1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem1
StepHypRef Expression
1 0re 9794 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3 pire 23902 . . . . 5 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 wallispilem1.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 peano2nn0 11087 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8 iblioosinexp 38749 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
92, 4, 7, 8syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
10 iblioosinexp 38749 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
112, 4, 5, 10syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
12 elioore 11944 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312resincld 14579 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
1413adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
157adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1614, 15reexpcld 12754 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
175adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1814, 17reexpcld 12754 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
195nn0zd 11219 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 uzid 11441 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
22 peano2uz 11480 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2423adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
2513, 1jctil 557 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ))
26 sinq12gt0 23951 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝑥))
27 ltle 9875 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘𝑥) → 0 ≤ (sin‘𝑥)))
2825, 26, 27sylc 62 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
2928adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
30 sinbnd 14616 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
3112, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
3231simprd 477 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
3332adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
3414, 17, 24, 29, 33leexp2rd 12771 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ≤ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
359, 11, 16, 18, 34itgle 23258 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ≤ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
36 oveq2 6433 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
3736adantr 479 . . . . 5 ((𝑛 = (𝑁 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
3837itgeq2dv 23230 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
39 wallispilem1.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
40 itgex 23219 . . . 4 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6074 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
427, 41syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
43 oveq2 6433 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
4443adantr 479 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
4544itgeq2dv 23230 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
46 itgex 23219 . . . 4 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
4745, 39, 46fvmpt 6074 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
485, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
4935, 42, 483brtr4d 4513 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cmpt 4541  cfv 5689  (class class class)co 6425  cr 9689  0cc0 9690  1c1 9691   + caddc 9693   < clt 9828  cle 9829  -cneg 10017  0cn0 11046  cz 11117  cuz 11426  (,)cioo 11914  cexp 12589  sincsin 14500  πcpi 14503  𝐿1cibl 23068  citg 23069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-cc 9015  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768  ax-addf 9769  ax-mulf 9770
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-disj 4452  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6670  df-ofr 6671  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-supp 7057  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-omul 7327  df-er 7504  df-map 7621  df-pm 7622  df-ixp 7670  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fsupp 8034  df-fi 8075  df-sup 8106  df-inf 8107  df-oi 8173  df-card 8523  df-acn 8526  df-cda 8748  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-q 11530  df-rp 11574  df-xneg 11687  df-xadd 11688  df-xmul 11689  df-ioo 11918  df-ioc 11919  df-ico 11920  df-icc 11921  df-fz 12065  df-fzo 12202  df-fl 12322  df-mod 12398  df-seq 12531  df-exp 12590  df-fac 12790  df-bc 12819  df-hash 12847  df-shft 13512  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-limsup 13908  df-clim 13931  df-rlim 13932  df-sum 14132  df-ef 14504  df-sin 14506  df-cos 14507  df-pi 14509  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-sets 15583  df-ress 15584  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-starv 15665  df-sca 15666  df-vsca 15667  df-ip 15668  df-tset 15669  df-ple 15670  df-ds 15673  df-unif 15674  df-hom 15675  df-cco 15676  df-rest 15788  df-topn 15789  df-0g 15807  df-gsum 15808  df-topgen 15809  df-pt 15810  df-prds 15813  df-xrs 15867  df-qtop 15873  df-imas 15874  df-xps 15877  df-mre 15959  df-mrc 15960  df-acs 15962  df-mgm 16955  df-sgrp 16997  df-mnd 17008  df-submnd 17049  df-mulg 17254  df-cntz 17463  df-cmn 17924  df-psmet 19461  df-xmet 19462  df-met 19463  df-bl 19464  df-mopn 19465  df-fbas 19466  df-fg 19467  df-cnfld 19470  df-top 20422  df-bases 20423  df-topon 20424  df-topsp 20425  df-cld 20534  df-ntr 20535  df-cls 20536  df-nei 20613  df-lp 20651  df-perf 20652  df-cn 20742  df-cnp 20743  df-haus 20830  df-cmp 20901  df-tx 21076  df-hmeo 21269  df-fil 21361  df-fm 21453  df-flim 21454  df-flf 21455  df-xms 21835  df-ms 21836  df-tms 21837  df-cncf 22410  df-ovol 22916  df-vol 22917  df-mbf 23070  df-itg1 23071  df-itg2 23072  df-ibl 23073  df-itg 23074  df-0p 23119  df-limc 23312  df-dv 23313
This theorem is referenced by:  wallispilem5  38867
  Copyright terms: Public domain W3C validator