Theorem 1st0 6197

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	⊢ (1st ‘∅) = ∅

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4156	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		1stvalg 6195	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (1st ‘∅) = ∪ dom {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1st ‘∅) = ∪ dom {∅}
4		dmsn0 5133	. . 3 ⊢ dom {∅} = ∅
5	4	unieqi 3845	. 2 ⊢ ∪ dom {∅} = ∪ ∅
6		uni0 3862	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	3, 5, 6	3eqtri 2218	1 ⊢ (1st ‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3446  {csn 3618  ∪ cuni 3835  dom cdm 4659  ‘cfv 5254  1^st c1st 6191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-1st 6193

This theorem is referenced by:  0npr  7543