Theorem 1st0 6351

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	⊢ (1st ‘∅) = ∅

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		1stvalg 6349	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (1st ‘∅) = ∪ dom {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1st ‘∅) = ∪ dom {∅}
4		dmsn0 5235	. . 3 ⊢ dom {∅} = ∅
5	4	unieqi 3929	. 2 ⊢ ∪ dom {∅} = ∪ ∅
6		uni0 3946	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	3, 5, 6	3eqtri 2259	1 ⊢ (1st ‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∅c0 3512  {csn 3694  ∪ cuni 3919  dom cdm 4754  ‘cfv 5357  1^st c1st 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-1st 6347

This theorem is referenced by:  0npr  7814