ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0npr Unicode version

Theorem 0npr 7303
Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
0npr  |-  -.  (/)  e.  P.

Proof of Theorem 0npr
StepHypRef Expression
1 noel 3367 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
2 1st0 6042 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)
32eleq2i 2206 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1st `  (/) )  <->  x  e.  (/) )
41, 3mtbir 660 . . . . 5  |-  -.  x  e.  ( 1st `  (/) )
54nex 1476 . . . 4  |-  -.  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) )
6 rexex 2479 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )  ->  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
75, 6mto 651 . . 3  |-  -.  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )
8 prml 7297 . . 3  |-  ( <.
( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
97, 8mto 651 . 2  |-  -.  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.
10 prop 7295 . 2  |-  ( (/)  e.  P.  ->  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P. )
119, 10mto 651 1  |-  -.  (/)  e.  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417   (/)c0 3363   <.cop 3530   ` cfv 5123   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7100   P.cnp 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-qs 6435  df-ni 7124  df-nqqs 7168  df-inp 7286
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator