Theorem 0npr 7315

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	|- -. (/) e. P.

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3372	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
2		1st0 6050	. . . . . . 7 |- ( 1st ` (/) ) = (/)
3	2	eleq2i 2207	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` (/) ) <-> x e. (/) )
4	1, 3	mtbir 661	. . . . 5 |- -. x e. ( 1st ` (/) )
5	4	nex 1477	. . . 4 |- -. E. x x e. ( 1st ` (/) )
6		rexex 2482	. . . 4 |- ( E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) -> E. x x e. ( 1st ` (/) ) )
7	5, 6	mto 652	. . 3 |- -. E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) )
8		prml 7309	. . 3 |- ( <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. -> E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) )
9	7, 8	mto 652	. 2 |- -. <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P.
10		prop 7307	. 2 |- ( (/) e. P. -> <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. )
11	9, 10	mto 652	1 |- -. (/) e. P.

Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1469   e. wcel 1481   E.wrex 2418   (/)c0 3368   <.cop 3535   ` cfv 5131   1stc1st 6044   2ndc2nd 6045   Q.cnq 7112   P.cnp 7123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-qs 6443  df-ni 7136  df-nqqs 7180  df-inp 7298

This theorem is referenced by: (None)