Theorem 0npr 7840

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	|- -. (/) e. P.

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
2		1st0 6368	. . . . . . 7 |- ( 1st ` (/) ) = (/)
3	2	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` (/) ) <-> x e. (/) )
4	1, 3	mtbir 682	. . . . 5 |- -. x e. ( 1st ` (/) )
5	4	nex 1553	. . . 4 |- -. E. x x e. ( 1st ` (/) )
6		rexex 2596	. . . 4 |- ( E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) -> E. x x e. ( 1st ` (/) ) )
7	5, 6	mto 672	. . 3 |- -. E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) )
8		prml 7834	. . 3 |- ( <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. -> E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) )
9	7, 8	mto 672	. 2 |- -. <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P.
10		prop 7832	. 2 |- ( (/) e. P. -> <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. )
11	9, 10	mto 672	1 |- -. (/) e. P.

Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   (/)c0 3520   <.cop 3708   ` cfv 5372   1stc1st 6362   2ndc2nd 6363   Q.cnq 7637   P.cnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-qs 6803  df-ni 7661  df-nqqs 7705  df-inp 7823

This theorem is referenced by: (None)