Theorem 0npr 7798

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	|- -. (/) e. P.

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3512	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
2		1st0 6338	. . . . . . 7 |- ( 1st ` (/) ) = (/)
3	2	eleq2i 2299	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` (/) ) <-> x e. (/) )
4	1, 3	mtbir 678	. . . . 5 |- -. x e. ( 1st ` (/) )
5	4	nex 1549	. . . 4 |- -. E. x x e. ( 1st ` (/) )
6		rexex 2588	. . . 4 |- ( E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) -> E. x x e. ( 1st ` (/) ) )
7	5, 6	mto 668	. . 3 |- -. E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) )
8		prml 7792	. . 3 |- ( <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. -> E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) )
9	7, 8	mto 668	. 2 |- -. <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P.
10		prop 7790	. 2 |- ( (/) e. P. -> <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. )
11	9, 10	mto 668	1 |- -. (/) e. P.

Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1541   e. wcel 2203   E.wrex 2521   (/)c0 3508   <.cop 3692   ` cfv 5352   1stc1st 6332   2ndc2nd 6333   Q.cnq 7595   P.cnp 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-qs 6773  df-ni 7619  df-nqqs 7663  df-inp 7781

This theorem is referenced by: (None)