ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0npr Unicode version

Theorem 0npr 7021
Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
0npr  |-  -.  (/)  e.  P.

Proof of Theorem 0npr
StepHypRef Expression
1 noel 3288 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
2 1st0 5897 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)
32eleq2i 2154 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1st `  (/) )  <->  x  e.  (/) )
41, 3mtbir 631 . . . . 5  |-  -.  x  e.  ( 1st `  (/) )
54nex 1434 . . . 4  |-  -.  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) )
6 rexex 2422 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )  ->  E. x  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
75, 6mto 623 . . 3  |-  -.  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) )
8 prml 7015 . . 3  |-  ( <.
( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  ( 1st `  (/) ) )
97, 8mto 623 . 2  |-  -.  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P.
10 prop 7013 . 2  |-  ( (/)  e.  P.  ->  <. ( 1st `  (/) ) ,  ( 2nd `  (/) ) >.  e.  P. )
119, 10mto 623 1  |-  -.  (/)  e.  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1426    e. wcel 1438   E.wrex 2360   (/)c0 3284   <.cop 3444   ` cfv 5002   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818   P.cnp 6829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-qs 6278  df-ni 6842  df-nqqs 6886  df-inp 7004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator