Theorem 0npr 7432

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	|- -. (/) e. P.

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3418	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
2		1st0 6120	. . . . . . 7 |- ( 1st ` (/) ) = (/)
3	2	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` (/) ) <-> x e. (/) )
4	1, 3	mtbir 666	. . . . 5 |- -. x e. ( 1st ` (/) )
5	4	nex 1493	. . . 4 |- -. E. x x e. ( 1st ` (/) )
6		rexex 2516	. . . 4 |- ( E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) -> E. x x e. ( 1st ` (/) ) )
7	5, 6	mto 657	. . 3 |- -. E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) )
8		prml 7426	. . 3 |- ( <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. -> E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) )
9	7, 8	mto 657	. 2 |- -. <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P.
10		prop 7424	. 2 |- ( (/) e. P. -> <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. )
11	9, 10	mto 657	1 |- -. (/) e. P.

Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414   <.cop 3584   ` cfv 5196   1stc1st 6114   2ndc2nd 6115   Q.cnq 7229   P.cnp 7240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-qs 6515  df-ni 7253  df-nqqs 7297  df-inp 7415

This theorem is referenced by: (None)