Theorem 0npr 7445

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	|- -. (/) e. P.

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3418	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
2		1st0 6123	. . . . . . 7 |- ( 1st ` (/) ) = (/)
3	2	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` (/) ) <-> x e. (/) )
4	1, 3	mtbir 666	. . . . 5 |- -. x e. ( 1st ` (/) )
5	4	nex 1493	. . . 4 |- -. E. x x e. ( 1st ` (/) )
6		rexex 2516	. . . 4 |- ( E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) -> E. x x e. ( 1st ` (/) ) )
7	5, 6	mto 657	. . 3 |- -. E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) )
8		prml 7439	. . 3 |- ( <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. -> E. x e. Q. x e. ( 1st ` (/) ) )
9	7, 8	mto 657	. 2 |- -. <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P.
10		prop 7437	. 2 |- ( (/) e. P. -> <. ( 1st ` (/) ) , ( 2nd ` (/) ) >. e. P. )
11	9, 10	mto 657	1 |- -. (/) e. P.

Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414   <.cop 3586   ` cfv 5198   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Q.cnq 7242   P.cnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-inp 7428

This theorem is referenced by: (None)