Theorem bj-nn0suc 13846

Description: Proof of (biconditional form of) nn0suc 4581 from the core axioms of CZF. See also bj-nn0sucALT 13860. As a characterization of the elements of om, this could be labeled "elom". (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc0 13832	. . 3 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )
2		bj-omtrans 13838	. . . . 5 |- ( A e. om -> A C_ om )
3		ssrexv 3207	. . . . 5 |- ( A C_ om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orim2d 778	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
6	1, 5	mpd 13	. 2 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
7		peano1 4571	. . . 4 |- (/) e. om
8		eleq1 2229	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
9	7, 8	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = (/) -> A e. om )
10		bj-peano2 13821	. . . . 5 |- ( x e. om -> suc x e. om )
11		eleq1a 2238	. . . . . 6 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
12	11	imp 123	. . . . 5 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
13	10, 12	sylan 281	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
14	13	rexlimiva 2578	. . 3 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
15	9, 14	jaoi 706	. 2 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
16	6, 15	impbii 125	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdim 13696  ax-bdan 13697  ax-bdor 13698  ax-bdn 13699  ax-bdal 13700  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766  ax-infvn 13823

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-findis  13861