Theorem bj-nn0suc 13999

Description: Proof of (biconditional form of) nn0suc 4588 from the core axioms of CZF. See also bj-nn0sucALT 14013. As a characterization of the elements of om, this could be labeled "elom". (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc0 13985	. . 3 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )
2		bj-omtrans 13991	. . . . 5 |- ( A e. om -> A C_ om )
3		ssrexv 3212	. . . . 5 |- ( A C_ om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orim2d 783	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
6	1, 5	mpd 13	. 2 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
7		peano1 4578	. . . 4 |- (/) e. om
8		eleq1 2233	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
9	7, 8	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = (/) -> A e. om )
10		bj-peano2 13974	. . . . 5 |- ( x e. om -> suc x e. om )
11		eleq1a 2242	. . . . . 6 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
12	11	imp 123	. . . . 5 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
13	10, 12	sylan 281	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
14	13	rexlimiva 2582	. . 3 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
15	9, 14	jaoi 711	. 2 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
16	6, 15	impbii 125	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   (/)c0 3414   suc csuc 4350   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdim 13849  ax-bdan 13850  ax-bdor 13851  ax-bdn 13852  ax-bdal 13853  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919  ax-infvn 13976

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962

This theorem is referenced by:  bj-findis  14014