Theorem bj-nn0suc 11859

Description: Proof of (biconditional form of) nn0suc 4419 from the core axioms of CZF. See also bj-nn0sucALT 11873. As a characterization of the elements of om, this could be labeled "elom". (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc0 11845	. . 3 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )
2		bj-omtrans 11851	. . . . 5 |- ( A e. om -> A C_ om )
3		ssrexv 3086	. . . . 5 |- ( A C_ om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orim2d 737	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
6	1, 5	mpd 13	. 2 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
7		peano1 4409	. . . 4 |- (/) e. om
8		eleq1 2150	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
9	7, 8	mpbiri 166	. . 3 |- ( A = (/) -> A e. om )
10		bj-peano2 11834	. . . . 5 |- ( x e. om -> suc x e. om )
11		eleq1a 2159	. . . . . 6 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
12	11	imp 122	. . . . 5 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
13	10, 12	sylan 277	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
14	13	rexlimiva 2484	. . 3 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
15	9, 14	jaoi 671	. 2 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
16	6, 15	impbii 124	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   C_ wss 2999   (/)c0 3286   suc csuc 4192   omcom 4405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-nul 3965  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-bd0 11704  ax-bdim 11705  ax-bdan 11706  ax-bdor 11707  ax-bdn 11708  ax-bdal 11709  ax-bdex 11710  ax-bdeq 11711  ax-bdel 11712  ax-bdsb 11713  ax-bdsep 11775  ax-infvn 11836

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-suc 4198  df-iom 4406  df-bdc 11732  df-bj-ind 11822

This theorem is referenced by:  bj-findis  11874