Theorem bj-nn0suc 13499

Description: Proof of (biconditional form of) nn0suc 4561 from the core axioms of CZF. See also bj-nn0sucALT 13513. As a characterization of the elements of om, this could be labeled "elom". (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc0 13485	. . 3 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )
2		bj-omtrans 13491	. . . . 5 |- ( A e. om -> A C_ om )
3		ssrexv 3193	. . . . 5 |- ( A C_ om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orim2d 778	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
6	1, 5	mpd 13	. 2 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
7		peano1 4551	. . . 4 |- (/) e. om
8		eleq1 2220	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
9	7, 8	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = (/) -> A e. om )
10		bj-peano2 13474	. . . . 5 |- ( x e. om -> suc x e. om )
11		eleq1a 2229	. . . . . 6 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
12	11	imp 123	. . . . 5 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
13	10, 12	sylan 281	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
14	13	rexlimiva 2569	. . 3 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
15	9, 14	jaoi 706	. 2 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
16	6, 15	impbii 125	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   C_ wss 3102   (/)c0 3394   suc csuc 4324   omcom 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4090  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-bd0 13348  ax-bdim 13349  ax-bdan 13350  ax-bdor 13351  ax-bdn 13352  ax-bdal 13353  ax-bdex 13354  ax-bdeq 13355  ax-bdel 13356  ax-bdsb 13357  ax-bdsep 13419  ax-infvn 13476

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-suc 4330  df-iom 4548  df-bdc 13376  df-bj-ind 13462

This theorem is referenced by:  bj-findis  13514