Theorem bj-nn0suc 14801

Description: Proof of (biconditional form of) nn0suc 4605 from the core axioms of CZF. See also bj-nn0sucALT 14815. As a characterization of the elements of om, this could be labeled "elom". (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc0 14787	. . 3 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )
2		bj-omtrans 14793	. . . . 5 |- ( A e. om -> A C_ om )
3		ssrexv 3222	. . . . 5 |- ( A C_ om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( E. x e. A A = suc x -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orim2d 788	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
6	1, 5	mpd 13	. 2 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
7		peano1 4595	. . . 4 |- (/) e. om
8		eleq1 2240	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
9	7, 8	mpbiri 168	. . 3 |- ( A = (/) -> A e. om )
10		bj-peano2 14776	. . . . 5 |- ( x e. om -> suc x e. om )
11		eleq1a 2249	. . . . . 6 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
12	11	imp 124	. . . . 5 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
13	10, 12	sylan 283	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
14	13	rexlimiva 2589	. . 3 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
15	9, 14	jaoi 716	. 2 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
16	6, 15	impbii 126	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3131   (/)c0 3424   suc csuc 4367   omcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4131  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14650  ax-bdim 14651  ax-bdan 14652  ax-bdor 14653  ax-bdn 14654  ax-bdal 14655  ax-bdex 14656  ax-bdeq 14657  ax-bdel 14658  ax-bdsb 14659  ax-bdsep 14721  ax-infvn 14778

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-suc 4373  df-iom 4592  df-bdc 14678  df-bj-ind 14764

This theorem is referenced by:  bj-findis  14816