Theorem bj-nn0sucALT 14386

Description: Alternate proof of bj-nn0suc 14372, also constructive but from ax-inf2 14384, hence requiring ax-bdsetind 14376. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0sucALT	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 14384	. . 3 |- E. a A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) )
2		vex 2740	. . . . 5 |- a e. _V
3		bdcv 14256	. . . . . 6 |- BOUNDED a
4	3	bj-inf2vn 14382	. . . . 5 |- ( a e. _V -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om )
6		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( y e. a <-> y e. om ) )
7		rexeq 2673	. . . . . . . 8 |- ( a = om -> ( E. z e. a y = suc z <-> E. z e. om y = suc z ) )
8	7	orbi2d 790	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. . . . . 6 |- ( a = om -> ( ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
10	9	albidv 1824	. . . . 5 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
11		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ y A
12		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
13		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y e. om <-> A e. om ) )
14		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
15		suceq 4399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> suc z = suc x )
16	15	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y = suc z <-> y = suc x ) )
17	16	cbvrexv 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om y = suc x )
18		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
19	18	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = suc x <-> E. x e. om A = suc x ) )
20	17, 19	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om A = suc x ) )
21	14, 20	orbi12d 793	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
22	13, 21	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) <-> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
23		biimp 118	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
24	22, 23	syl6bi 163	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
25	11, 12, 24	spcimgf 2817	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
26	25	pm2.43b 52	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
27		peano1 4590	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
29	27, 28	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A e. om )
30		bj-peano2 14347	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
31		eleq1a 2249	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
33	30, 32	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
34	33	rexlimiva 2589	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
35	29, 34	jaoi 716	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
36	26, 35	impbid1 142	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
37	10, 36	syl6bi 163	. . . 4 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
38	5, 37	mpcom 36	. . 3 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
39	1, 38	eximii 1602	. 2 |- E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
40		bj-ex 14170	. 2 |- ( E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   suc csuc 4362   omcom 4586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4126  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-bd0 14221  ax-bdim 14222  ax-bdor 14224  ax-bdex 14227  ax-bdeq 14228  ax-bdel 14229  ax-bdsb 14230  ax-bdsep 14292  ax-bdsetind 14376  ax-inf2 14384

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-sn 3597  df-pr 3598  df-uni 3808  df-int 3843  df-suc 4368  df-iom 4587  df-bdc 14249  df-bj-ind 14335

This theorem is referenced by: (None)