Theorem bj-nn0sucALT 15708

Description: Alternate proof of bj-nn0suc 15694, also constructive but from ax-inf2 15706, hence requiring ax-bdsetind 15698. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0sucALT	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 15706	. . 3 |- E. a A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) )
2		vex 2766	. . . . 5 |- a e. _V
3		bdcv 15578	. . . . . 6 |- BOUNDED a
4	3	bj-inf2vn 15704	. . . . 5 |- ( a e. _V -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om )
6		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( y e. a <-> y e. om ) )
7		rexeq 2694	. . . . . . . 8 |- ( a = om -> ( E. z e. a y = suc z <-> E. z e. om y = suc z ) )
8	7	orbi2d 791	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. . . . . 6 |- ( a = om -> ( ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
10	9	albidv 1838	. . . . 5 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
11		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ y A
12		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
13		eleq1 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y e. om <-> A e. om ) )
14		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
15		suceq 4438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> suc z = suc x )
16	15	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y = suc z <-> y = suc x ) )
17	16	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om y = suc x )
18		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
19	18	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = suc x <-> E. x e. om A = suc x ) )
20	17, 19	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om A = suc x ) )
21	14, 20	orbi12d 794	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
22	13, 21	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) <-> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
23		biimp 118	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
24	22, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
25	11, 12, 24	spcimgf 2844	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
26	25	pm2.43b 52	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
27		peano1 4631	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
29	27, 28	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A e. om )
30		bj-peano2 15669	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
31		eleq1a 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
32	31	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
33	30, 32	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
34	33	rexlimiva 2609	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
35	29, 34	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
36	26, 35	impbid1 142	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
37	10, 36	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
38	5, 37	mpcom 36	. . 3 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
39	1, 38	eximii 1616	. 2 |- E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
40		bj-ex 15492	. 2 |- ( E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   (/)c0 3451   suc csuc 4401   omcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4160  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-bd0 15543  ax-bdim 15544  ax-bdor 15546  ax-bdex 15549  ax-bdeq 15550  ax-bdel 15551  ax-bdsb 15552  ax-bdsep 15614  ax-bdsetind 15698  ax-inf2 15706

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628  df-bdc 15571  df-bj-ind 15657

This theorem is referenced by: (None)