Theorem bj-nn0sucALT 12868

Description: Alternate proof of bj-nn0suc 12854, also constructive but from ax-inf2 12866, hence requiring ax-bdsetind 12858. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0sucALT	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 12866	. . 3 |- E. a A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) )
2		vex 2660	. . . . 5 |- a e. _V
3		bdcv 12738	. . . . . 6 |- BOUNDED a
4	3	bj-inf2vn 12864	. . . . 5 |- ( a e. _V -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om ) )
5	2, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om )
6		eleq2 2178	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( y e. a <-> y e. om ) )
7		rexeq 2601	. . . . . . . 8 |- ( a = om -> ( E. z e. a y = suc z <-> E. z e. om y = suc z ) )
8	7	orbi2d 762	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) )
9	6, 8	bibi12d 234	. . . . . 6 |- ( a = om -> ( ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
10	9	albidv 1778	. . . . 5 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
11		nfcv 2255	. . . . . . . 8 |- F/_ y A
12		nfv 1491	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
13		eleq1 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y e. om <-> A e. om ) )
14		eqeq1 2121	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
15		suceq 4284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> suc z = suc x )
16	15	eqeq2d 2126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y = suc z <-> y = suc x ) )
17	16	cbvrexv 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om y = suc x )
18		eqeq1 2121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
19	18	rexbidv 2412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = suc x <-> E. x e. om A = suc x ) )
20	17, 19	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om A = suc x ) )
21	14, 20	orbi12d 765	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
22	13, 21	bibi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) <-> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
23		bi1 117	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
24	22, 23	syl6bi 162	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
25	11, 12, 24	spcimgf 2737	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
26	25	pm2.43b 52	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
27		peano1 4468	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		eleq1 2177	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
29	27, 28	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A e. om )
30		bj-peano2 12829	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
31		eleq1a 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
32	31	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
33	30, 32	sylan 279	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
34	33	rexlimiva 2518	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
35	29, 34	jaoi 688	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
36	26, 35	impbid1 141	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
37	10, 36	syl6bi 162	. . . 4 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
38	5, 37	mpcom 36	. . 3 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
39	1, 38	eximii 1564	. 2 |- E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
40		bj-ex 12662	. 2 |- ( E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 7	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 680   A.wal 1312   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   (/)c0 3329   suc csuc 4247   omcom 4464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-nul 4014  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-bd0 12703  ax-bdim 12704  ax-bdor 12706  ax-bdex 12709  ax-bdeq 12710  ax-bdel 12711  ax-bdsb 12712  ax-bdsep 12774  ax-bdsetind 12858  ax-inf2 12866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-suc 4253  df-iom 4465  df-bdc 12731  df-bj-ind 12817

This theorem is referenced by: (None)