Theorem bj-nn0sucALT 13524

Description: Alternate proof of bj-nn0suc 13510, also constructive but from ax-inf2 13522, hence requiring ax-bdsetind 13514. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0sucALT	|- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0sucALT

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 13522	. . 3 |- E. a A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) )
2		vex 2715	. . . . 5 |- a e. _V
3		bdcv 13394	. . . . . 6 |- BOUNDED a
4	3	bj-inf2vn 13520	. . . . 5 |- ( a e. _V -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> a = om )
6		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( y e. a <-> y e. om ) )
7		rexeq 2653	. . . . . . . 8 |- ( a = om -> ( E. z e. a y = suc z <-> E. z e. om y = suc z ) )
8	7	orbi2d 780	. . . . . . 7 |- ( a = om -> ( ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) )
9	6, 8	bibi12d 234	. . . . . 6 |- ( a = om -> ( ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
10	9	albidv 1804	. . . . 5 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) <-> A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) ) )
11		nfcv 2299	. . . . . . . 8 |- F/_ y A
12		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
13		eleq1 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( y e. om <-> A e. om ) )
14		eqeq1 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
15		suceq 4362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> suc z = suc x )
16	15	eqeq2d 2169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y = suc z <-> y = suc x ) )
17	16	cbvrexv 2681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om y = suc x )
18		eqeq1 2164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
19	18	rexbidv 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = suc x <-> E. x e. om A = suc x ) )
20	17, 19	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( E. z e. om y = suc z <-> E. x e. om A = suc x ) )
21	14, 20	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
22	13, 21	bibi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) <-> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
23		biimp 117	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
24	22, 23	syl6bi 162	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
25	11, 12, 24	spcimgf 2792	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
26	25	pm2.43b 52	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
27		peano1 4552	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		eleq1 2220	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( A e. om <-> (/) e. om ) )
29	27, 28	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A e. om )
30		bj-peano2 13485	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
31		eleq1a 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. om -> ( A = suc x -> A e. om ) )
32	31	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
33	30, 32	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A = suc x ) -> A e. om )
34	33	rexlimiva 2569	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om A = suc x -> A e. om )
35	29, 34	jaoi 706	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) -> A e. om )
36	26, 35	impbid1 141	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. om <-> ( y = (/) \/ E. z e. om y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
37	10, 36	syl6bi 162	. . . 4 |- ( a = om -> ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) ) )
38	5, 37	mpcom 36	. . 3 |- ( A. y ( y e. a <-> ( y = (/) \/ E. z e. a y = suc z ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
39	1, 38	eximii 1582	. 2 |- E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
40		bj-ex 13307	. 2 |- ( E. a ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) -> ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	1 |- ( A e. om <-> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1333   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   (/)c0 3394   suc csuc 4325   omcom 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4090  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-bd0 13359  ax-bdim 13360  ax-bdor 13362  ax-bdex 13365  ax-bdeq 13366  ax-bdel 13367  ax-bdsb 13368  ax-bdsep 13430  ax-bdsetind 13514  ax-inf2 13522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-suc 4331  df-iom 4549  df-bdc 13387  df-bj-ind 13473

This theorem is referenced by: (None)