Theorem bj-findis 16749

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 16717 for a bounded version not requiring ax-setind 4659. See finds 4722 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4722, finds2 4723, finds1 4724. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/ x ps
bj-findis.nf1	|- F/ x ch
bj-findis.nfsuc	|- F/ x th
bj-findis.0	|- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
bj-findis.1	|- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
bj-findis.suc	|- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 16734	. . . . 5 |- ( z e. om <-> ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) )
2		pm3.21 264	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
3	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
4		pm2.04 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z -> ( y e. om -> ch ) ) -> ( y e. om -> ( y e. z -> ch ) ) )
5	4	ralimi2 2602	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> ch ) )
6		imim2 55	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch -> th ) -> ( ( y e. z -> ch ) -> ( y e. z -> th ) ) )
7	6	ral2imi 2607	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. om ( ch -> th ) -> ( A. y e. om ( y e. z -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) ) )
8	7	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. om ( y e. z -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
9	5, 8	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
10		r19.29 2680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) )
11		vex 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = suc y -> y e. z )
15		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> z = suc y ) )
16		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. z -> ( ( y e. z -> th ) -> th ) )
17	15, 16	anim12ii 343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = suc y /\ y e. z ) -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
18	14, 17	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
19	18	impcom 125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> ( z = suc y /\ th ) )
20	19	reximi 2639	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. om ( y e. z -> th ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
25	3, 24	orim12d 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
27	1, 26	syl7bi 165	. . . 4 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
28	27	alrimiv 1923	. . 3 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
29		nfv 1577	. . . . 5 |- F/ x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/ x ch
31	29, 30	nfim 1621	. . . 4 |- F/ x ( y e. om -> ch )
32		nfv 1577	. . . . 5 |- F/ x z e. om
33		nfv 1577	. . . . . . 7 |- F/ x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/ x ps
35	33, 34	nfan 1614	. . . . . 6 |- F/ x ( z = (/) /\ ps )
36		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x om
37		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/ x th
39	37, 38	nfan 1614	. . . . . . 7 |- F/ x ( z = suc y /\ th )
40	36, 39	nfrexw 2581	. . . . . 6 |- F/ x E. y e. om ( z = suc y /\ th )
41	35, 40	nfor 1623	. . . . 5 |- F/ x ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
42	32, 41	nfim 1621	. . . 4 |- F/ x ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
43		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z ( x e. om -> ph )
44		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z ( y e. om -> ch )
45		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
46	45	biimprd 158	. . . . 5 |- ( x = y -> ( y e. om -> x e. om ) )
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
48	46, 47	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. om -> ph ) -> ( y e. om -> ch ) ) )
49		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. om <-> z e. om ) )
50	49	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. om -> z e. om ) )
51		eqtr 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> x = (/) )
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> ( ps -> ph ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( z = (/) /\ ps ) -> ph ) )
55		eqtr 2250	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> x = suc y )
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> ( th -> ph ) )
58	57	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
59	58	rexlimdvw 2664	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
60	54, 59	jaod 725	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) -> ph ) )
61	50, 60	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) -> ( x e. om -> ph ) ) )
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 16737	. . 3 |- ( A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
64		df-ral 2525	. 2 |- ( A. x e. om ph <-> A. x ( x e. om -> ph ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   F/wnf 1509   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   (/)c0 3508   suc csuc 4486   omcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-nul 4236  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-bd0 16583  ax-bdim 16584  ax-bdan 16585  ax-bdor 16586  ax-bdn 16587  ax-bdal 16588  ax-bdex 16589  ax-bdeq 16590  ax-bdel 16591  ax-bdsb 16592  ax-bdsep 16654  ax-infvn 16711

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-iom 4713  df-bdc 16611  df-bj-ind 16697

This theorem is referenced by:  bj-findisg  16750  bj-findes  16751