Theorem bj-findis 13871

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 13839 for a bounded version not requiring ax-setind 4514. See finds 4577 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4577, finds2 4578, finds1 4579. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/ x ps
bj-findis.nf1	|- F/ x ch
bj-findis.nfsuc	|- F/ x th
bj-findis.0	|- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
bj-findis.1	|- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
bj-findis.suc	|- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 13856	. . . . 5 |- ( z e. om <-> ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) )
2		pm3.21 262	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
3	2	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
4		pm2.04 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z -> ( y e. om -> ch ) ) -> ( y e. om -> ( y e. z -> ch ) ) )
5	4	ralimi2 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> ch ) )
6		imim2 55	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch -> th ) -> ( ( y e. z -> ch ) -> ( y e. z -> th ) ) )
7	6	ral2imi 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. om ( ch -> th ) -> ( A. y e. om ( y e. z -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) ) )
8	7	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. om ( y e. z -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
9	5, 8	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
10		r19.29 2603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) )
11		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = suc y -> y e. z )
15		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> z = suc y ) )
16		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. z -> ( ( y e. z -> th ) -> th ) )
17	15, 16	anim12ii 341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = suc y /\ y e. z ) -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
18	14, 17	mpdan 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
19	18	impcom 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> ( z = suc y /\ th ) )
20	19	reximi 2563	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
22	21	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. om ( y e. z -> th ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
24	23	adantll 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
25	3, 24	orim12d 776	. . . . . 6 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) )
26	25	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
27	1, 26	syl7bi 164	. . . 4 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
28	27	alrimiv 1862	. . 3 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
29		nfv 1516	. . . . 5 |- F/ x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/ x ch
31	29, 30	nfim 1560	. . . 4 |- F/ x ( y e. om -> ch )
32		nfv 1516	. . . . 5 |- F/ x z e. om
33		nfv 1516	. . . . . . 7 |- F/ x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/ x ps
35	33, 34	nfan 1553	. . . . . 6 |- F/ x ( z = (/) /\ ps )
36		nfcv 2308	. . . . . . 7 |- F/_ x om
37		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/ x th
39	37, 38	nfan 1553	. . . . . . 7 |- F/ x ( z = suc y /\ th )
40	36, 39	nfrexxy 2505	. . . . . 6 |- F/ x E. y e. om ( z = suc y /\ th )
41	35, 40	nfor 1562	. . . . 5 |- F/ x ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
42	32, 41	nfim 1560	. . . 4 |- F/ x ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
43		nfv 1516	. . . 4 |- F/ z ( x e. om -> ph )
44		nfv 1516	. . . 4 |- F/ z ( y e. om -> ch )
45		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
46	45	biimprd 157	. . . . 5 |- ( x = y -> ( y e. om -> x e. om ) )
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
48	46, 47	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. om -> ph ) -> ( y e. om -> ch ) ) )
49		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. om <-> z e. om ) )
50	49	biimpd 143	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. om -> z e. om ) )
51		eqtr 2183	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> x = (/) )
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> ( ps -> ph ) )
54	53	expimpd 361	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( z = (/) /\ ps ) -> ph ) )
55		eqtr 2183	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> x = suc y )
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> ( th -> ph ) )
58	57	expimpd 361	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
59	58	rexlimdvw 2587	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
60	54, 59	jaod 707	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) -> ph ) )
61	50, 60	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) -> ( x e. om -> ph ) ) )
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 13859	. . 3 |- ( A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
64		df-ral 2449	. 2 |- ( A. x e. om ph <-> A. x ( x e. om -> ph ) )
65	63, 64	sylibr 133	1 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   F/wnf 1448   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-bd0 13705  ax-bdim 13706  ax-bdan 13707  ax-bdor 13708  ax-bdn 13709  ax-bdal 13710  ax-bdex 13711  ax-bdeq 13712  ax-bdel 13713  ax-bdsb 13714  ax-bdsep 13776  ax-infvn 13833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13733  df-bj-ind 13819

This theorem is referenced by:  bj-findisg  13872  bj-findes  13873