Theorem bj-findis 15471

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 15439 for a bounded version not requiring ax-setind 4569. See finds 4632 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4632, finds2 4633, finds1 4634. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/ x ps
bj-findis.nf1	|- F/ x ch
bj-findis.nfsuc	|- F/ x th
bj-findis.0	|- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
bj-findis.1	|- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
bj-findis.suc	|- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 15456	. . . . 5 |- ( z e. om <-> ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) )
2		pm3.21 264	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
3	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
4		pm2.04 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z -> ( y e. om -> ch ) ) -> ( y e. om -> ( y e. z -> ch ) ) )
5	4	ralimi2 2554	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> ch ) )
6		imim2 55	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch -> th ) -> ( ( y e. z -> ch ) -> ( y e. z -> th ) ) )
7	6	ral2imi 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. om ( ch -> th ) -> ( A. y e. om ( y e. z -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) ) )
8	7	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. om ( y e. z -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
9	5, 8	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
10		r19.29 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) )
11		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = suc y -> y e. z )
15		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> z = suc y ) )
16		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. z -> ( ( y e. z -> th ) -> th ) )
17	15, 16	anim12ii 343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = suc y /\ y e. z ) -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
18	14, 17	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
19	18	impcom 125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> ( z = suc y /\ th ) )
20	19	reximi 2591	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. om ( y e. z -> th ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
25	3, 24	orim12d 787	. . . . . 6 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
27	1, 26	syl7bi 165	. . . 4 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
28	27	alrimiv 1885	. . 3 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
29		nfv 1539	. . . . 5 |- F/ x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/ x ch
31	29, 30	nfim 1583	. . . 4 |- F/ x ( y e. om -> ch )
32		nfv 1539	. . . . 5 |- F/ x z e. om
33		nfv 1539	. . . . . . 7 |- F/ x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/ x ps
35	33, 34	nfan 1576	. . . . . 6 |- F/ x ( z = (/) /\ ps )
36		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ x om
37		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/ x th
39	37, 38	nfan 1576	. . . . . . 7 |- F/ x ( z = suc y /\ th )
40	36, 39	nfrexw 2533	. . . . . 6 |- F/ x E. y e. om ( z = suc y /\ th )
41	35, 40	nfor 1585	. . . . 5 |- F/ x ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
42	32, 41	nfim 1583	. . . 4 |- F/ x ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
43		nfv 1539	. . . 4 |- F/ z ( x e. om -> ph )
44		nfv 1539	. . . 4 |- F/ z ( y e. om -> ch )
45		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
46	45	biimprd 158	. . . . 5 |- ( x = y -> ( y e. om -> x e. om ) )
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
48	46, 47	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. om -> ph ) -> ( y e. om -> ch ) ) )
49		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. om <-> z e. om ) )
50	49	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. om -> z e. om ) )
51		eqtr 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> x = (/) )
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> ( ps -> ph ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( z = (/) /\ ps ) -> ph ) )
55		eqtr 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> x = suc y )
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> ( th -> ph ) )
58	57	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
59	58	rexlimdvw 2615	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
60	54, 59	jaod 718	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) -> ph ) )
61	50, 60	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) -> ( x e. om -> ph ) ) )
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 15459	. . 3 |- ( A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
64		df-ral 2477	. 2 |- ( A. x e. om ph <-> A. x ( x e. om -> ph ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   (/)c0 3446   suc csuc 4396   omcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4155  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-bd0 15305  ax-bdim 15306  ax-bdan 15307  ax-bdor 15308  ax-bdn 15309  ax-bdal 15310  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314  ax-bdsep 15376  ax-infvn 15433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-suc 4402  df-iom 4623  df-bdc 15333  df-bj-ind 15419

This theorem is referenced by:  bj-findisg  15472  bj-findes  15473