Theorem bj-findis 16919

Description: Principle of induction, using implicit substitutions (the biconditional versions of the hypotheses are implicit substitutions, and we have weakened them to implications). Constructive proof (from CZF). See bj-bdfindis 16887 for a bounded version not requiring ax-setind 4679. See finds 4742 for a proof in IZF. From this version, it is easy to prove of finds 4742, finds2 4743, finds1 4744. (Contributed by BJ, 22-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-findis.nf0	|- F/ x ps
bj-findis.nf1	|- F/ x ch
bj-findis.nfsuc	|- F/ x th
bj-findis.0	|- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
bj-findis.1	|- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
bj-findis.suc	|- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-findis	|- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)

Proof of Theorem bj-findis

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nn0suc 16904	. . . . 5 |- ( z e. om <-> ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) )
2		pm3.21 264	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
3	2	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( z = (/) -> ( z = (/) /\ ps ) ) )
4		pm2.04 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z -> ( y e. om -> ch ) ) -> ( y e. om -> ( y e. z -> ch ) ) )
5	4	ralimi2 2610	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> ch ) )
6		imim2 55	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch -> th ) -> ( ( y e. z -> ch ) -> ( y e. z -> th ) ) )
7	6	ral2imi 2615	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. om ( ch -> th ) -> ( A. y e. om ( y e. z -> ch ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) ) )
8	7	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. om ( y e. z -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
9	5, 8	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> A. y e. om ( y e. z -> th ) )
10		r19.29 2688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) )
11		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
12	11	sucid 4557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. suc y
13		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = suc y -> y e. z )
15		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> z = suc y ) )
16		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. z -> ( ( y e. z -> th ) -> th ) )
17	15, 16	anim12ii 343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = suc y /\ y e. z ) -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
18	14, 17	mpdan 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = suc y -> ( ( y e. z -> th ) -> ( z = suc y /\ th ) ) )
19	18	impcom 125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> ( z = suc y /\ th ) )
20	19	reximi 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. om ( ( y e. z -> th ) /\ z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. om ( y e. z -> th ) /\ E. y e. om z = suc y ) -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
22	21	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. om ( y e. z -> th ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. om ( ch -> th ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
24	23	adantll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( E. y e. om z = suc y -> E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
25	3, 24	orim12d 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) /\ A. y e. z ( y e. om -> ch ) ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( ( z = (/) \/ E. y e. om z = suc y ) -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
27	1, 26	syl7bi 165	. . . 4 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
28	27	alrimiv 1927	. . 3 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) )
29		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x y e. om
30		bj-findis.nf1	. . . . 5 |- F/ x ch
31	29, 30	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( y e. om -> ch )
32		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ x z e. om
33		nfv 1581	. . . . . . 7 |- F/ x z = (/)
34		bj-findis.nf0	. . . . . . 7 |- F/ x ps
35	33, 34	nfan 1618	. . . . . 6 |- F/ x ( z = (/) /\ ps )
36		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ x om
37		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ x z = suc y
38		bj-findis.nfsuc	. . . . . . . 8 |- F/ x th
39	37, 38	nfan 1618	. . . . . . 7 |- F/ x ( z = suc y /\ th )
40	36, 39	nfrexw 2589	. . . . . 6 |- F/ x E. y e. om ( z = suc y /\ th )
41	35, 40	nfor 1627	. . . . 5 |- F/ x ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) )
42	32, 41	nfim 1625	. . . 4 |- F/ x ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) )
43		nfv 1581	. . . 4 |- F/ z ( x e. om -> ph )
44		nfv 1581	. . . 4 |- F/ z ( y e. om -> ch )
45		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
46	45	biimprd 158	. . . . 5 |- ( x = y -> ( y e. om -> x e. om ) )
47		bj-findis.1	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph -> ch ) )
48	46, 47	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. om -> ph ) -> ( y e. om -> ch ) ) )
49		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. om <-> z e. om ) )
50	49	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. om -> z e. om ) )
51		eqtr 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> x = (/) )
52		bj-findis.0	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ps -> ph ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ z = (/) ) -> ( ps -> ph ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( z = (/) /\ ps ) -> ph ) )
55		eqtr 2256	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> x = suc y )
56		bj-findis.suc	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( th -> ph ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ z = suc y ) -> ( th -> ph ) )
58	57	expimpd 363	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
59	58	rexlimdvw 2672	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( z = suc y /\ th ) -> ph ) )
60	54, 59	jaod 729	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) -> ph ) )
61	50, 60	imim12d 74	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) -> ( x e. om -> ph ) ) )
62	31, 42, 43, 44, 48, 61	setindis 16907	. . 3 |- ( A. z ( A. y e. z ( y e. om -> ch ) -> ( z e. om -> ( ( z = (/) /\ ps ) \/ E. y e. om ( z = suc y /\ th ) ) ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
63	28, 62	syl 14	. 2 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x ( x e. om -> ph ) )
64		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. om ph <-> A. x ( x e. om -> ph ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( ps /\ A. y e. om ( ch -> th ) ) -> A. x e. om ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   (/)c0 3520   suc csuc 4505   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4254  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-bd0 16753  ax-bdim 16754  ax-bdan 16755  ax-bdor 16756  ax-bdn 16757  ax-bdal 16758  ax-bdex 16759  ax-bdeq 16760  ax-bdel 16761  ax-bdsb 16762  ax-bdsep 16824  ax-infvn 16881

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733  df-bdc 16781  df-bj-ind 16867

This theorem is referenced by:  bj-findisg  16920  bj-findes  16921