Theorem peano1 4741

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	elint 3976	. . 3 |- ( (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z ) )
3		df-clab 2225	. . . 4 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
4		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. y )
5	4	sbimi 1817	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] (/) e. y )
6		clelsb2 2344	. . . . 5 |- ( [ z / y ] (/) e. y <-> (/) e. z )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. z )
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z )
9	2, 8	mpgbir 1506	. 2 |- (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
10		dfom3 4739	. 2 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
11	9, 10	eleqtrri 2314	1 |- (/) e. om

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   [wsb 1815   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   (/)c0 3520   |^|cint 3970   suc csuc 4510   omcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4259

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521  df-int 3971  df-iom 4738

This theorem is used by:  peano5  4745  limom  4761  nnregexmid  4768  omsinds  4769  nnpredcl  4770  frec0g  6668  frecabcl  6670  frecrdg  6679  oa1suc  6740  nna0r  6751  nnm0r  6752  nnmcl  6754  nnmsucr  6761  1onn  6793  nnm1  6798  nnaordex  6801  nnawordex  6802  php5  7159  php5dom  7164  0fi  7188  findcard2  7193  findcard2s  7194  infm  7211  inffiexmid  7213  0ct  7447  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  omct  7457  nninfisol  7473  fodjum  7486  fodju0  7487  ctssexmid  7490  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  1lt2pi  7707  nq0m0r  7823  nq0a0  7824  prarloclem5  7867  frec2uzrand  10855  frecuzrdg0  10863  frecuzrdg0t  10872  frecfzennn  10876  0tonninf  10890  1tonninf  10891  hashinfom  11231  hashunlem  11258  hash1  11266  nninfctlemfo  12833  ennnfonelemj0  13341  ennnfonelem1  13347  ennnfonelemhf1o  13353  ennnfonelemhom  13355  fnpr2o  13709  fvpr0o  13711  xpscf  13717  bj-nn0suc  17088  bj-nn0sucALT  17102  012of  17121  2o01f  17122  pwle2  17126  pwf1oexmid  17127  subctctexmid  17128  peano3nninf  17148  nninfall  17150  nninfsellemdc  17151  nninfsellemeq  17155  nninffeq  17161  nnnninfex  17163  isomninnlem  17177  iswomninnlem  17197  ismkvnnlem  17200