Theorem peano1 4739

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4258	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	elint 3974	. . 3 |- ( (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z ) )
3		df-clab 2225	. . . 4 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
4		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. y )
5	4	sbimi 1817	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] (/) e. y )
6		clelsb2 2344	. . . . 5 |- ( [ z / y ] (/) e. y <-> (/) e. z )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. z )
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z )
9	2, 8	mpgbir 1506	. 2 |- (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
10		dfom3 4737	. 2 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
11	9, 10	eleqtrri 2314	1 |- (/) e. om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   [wsb 1815   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   (/)c0 3520   |^|cint 3968   suc csuc 4508   omcom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521  df-int 3969  df-iom 4736

This theorem is referenced by:  peano5  4743  limom  4759  nnregexmid  4766  omsinds  4767  nnpredcl  4768  frec0g  6661  frecabcl  6663  frecrdg  6672  oa1suc  6733  nna0r  6744  nnm0r  6745  nnmcl  6747  nnmsucr  6754  1onn  6786  nnm1  6791  nnaordex  6794  nnawordex  6795  php5  7152  php5dom  7157  0fi  7181  findcard2  7186  findcard2s  7187  infm  7204  inffiexmid  7206  0ct  7440  ctmlemr  7441  ctssdclemn0  7443  ctssdc  7446  omct  7450  nninfisol  7466  fodjum  7479  fodju0  7480  ctssexmid  7483  nninfwlpoimlemg  7508  nninfwlpoimlemginf  7509  1lt2pi  7700  nq0m0r  7816  nq0a0  7817  prarloclem5  7860  frec2uzrand  10823  frecuzrdg0  10831  frecuzrdg0t  10840  frecfzennn  10844  0tonninf  10858  1tonninf  10859  hashinfom  11198  hashunlem  11225  hash1  11233  nninfctlemfo  12798  ennnfonelemj0  13273  ennnfonelem1  13279  ennnfonelemhf1o  13285  ennnfonelemhom  13287  fnpr2o  13640  fvpr0o  13642  xpscf  13648  bj-nn0suc  16907  bj-nn0sucALT  16921  012of  16940  2o01f  16941  pwle2  16945  pwf1oexmid  16946  subctctexmid  16947  peano3nninf  16958  nninfall  16960  nninfsellemdc  16961  nninfsellemeq  16965  nninffeq  16971  nnnninfex  16973  isomninnlem  16987  iswomninnlem  17007  ismkvnnlem  17010