Theorem peano1 4718

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4239	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	elint 3957	. . 3 |- ( (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z ) )
3		df-clab 2221	. . . 4 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
4		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. y )
5	4	sbimi 1813	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] (/) e. y )
6		clelsb2 2340	. . . . 5 |- ( [ z / y ] (/) e. y <-> (/) e. z )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. z )
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z )
9	2, 8	mpgbir 1502	. 2 |- (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
10		dfom3 4716	. 2 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
11	9, 10	eleqtrri 2310	1 |- (/) e. om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   [wsb 1811   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   (/)c0 3510   |^|cint 3951   suc csuc 4488   omcom 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-nul 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3215  df-nul 3511  df-int 3952  df-iom 4715

This theorem is referenced by:  peano5  4722  limom  4738  nnregexmid  4745  omsinds  4746  nnpredcl  4747  frec0g  6630  frecabcl  6632  frecrdg  6641  oa1suc  6702  nna0r  6713  nnm0r  6714  nnmcl  6716  nnmsucr  6723  1onn  6755  nnm1  6760  nnaordex  6763  nnawordex  6764  php5  7114  php5dom  7119  0fi  7143  findcard2  7148  findcard2s  7149  infm  7166  inffiexmid  7168  0ct  7400  ctmlemr  7401  ctssdclemn0  7403  ctssdc  7406  omct  7410  nninfisol  7426  fodjum  7439  fodju0  7440  ctssexmid  7443  nninfwlpoimlemg  7468  nninfwlpoimlemginf  7469  1lt2pi  7657  nq0m0r  7773  nq0a0  7774  prarloclem5  7817  frec2uzrand  10771  frecuzrdg0  10779  frecuzrdg0t  10788  frecfzennn  10792  0tonninf  10806  1tonninf  10807  hashinfom  11145  hashunlem  11172  hash1  11180  nninfctlemfo  12740  ennnfonelemj0  13169  ennnfonelem1  13175  ennnfonelemhf1o  13181  ennnfonelemhom  13183  fnpr2o  13569  fvpr0o  13571  xpscf  13577  bj-nn0suc  16751  bj-nn0sucALT  16765  012of  16784  2o01f  16785  pwle2  16789  pwf1oexmid  16790  subctctexmid  16791  peano3nninf  16802  nninfall  16804  nninfsellemdc  16805  nninfsellemeq  16809  nninffeq  16815  nnnninfex  16817  isomninnlem  16831  iswomninnlem  16851  ismkvnnlem  16854