ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bln0 Unicode version

Theorem bln0 12482
Description: A ball is not empty. It is also inhabited, as seen at blcntr 12480. (Contributed by NM, 6-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bln0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  =/=  (/) )

Proof of Theorem bln0
StepHypRef Expression
1 blcntr 12480 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
21ne0d 3338 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 945    e. wcel 1463    =/= wne 2283   (/)c0 3331   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RR+crp 9390   *Metcxmet 12044   ballcbl 12046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-map 6510  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-rp 9391  df-psmet 12051  df-xmet 12052  df-bl 12054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator