Theorem bln0 14106

Description: A ball is not empty. It is also inhabited, as seen at blcntr 14104. (Contributed by NM, 6-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bln0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Proof of Theorem bln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blcntr 14104	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
2	1	ne0d 3432	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3424   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RR+crp 9656   *Metcxmet 13614   ballcbl 13616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-map 6653  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-rp 9657  df-psmet 13621  df-xmet 13622  df-bl 13624

This theorem is referenced by: (None)