Theorem bln0 14378

Description: A ball is not empty. It is also inhabited, as seen at blcntr 14376. (Contributed by NM, 6-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bln0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Proof of Theorem bln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blcntr 14376	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
2	1	ne0d 3445	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   RR+crp 9683   *Metcxmet 13849   ballcbl 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-map 6676  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-rp 9684  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-bl 13859

This theorem is referenced by: (None)