Theorem bln0 14832

Description: A ball is not empty. It is also inhabited, as seen at blcntr 14830. (Contributed by NM, 6-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bln0	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Proof of Theorem bln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blcntr 14830	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
2	1	ne0d 3467	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) R ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2175   =/= wne 2375   (/)c0 3459   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RR+crp 9774   *Metcxmet 14240   ballcbl 14242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-rp 9775  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-bl 14250

This theorem is referenced by: (None)