Theorem blcntr 14736

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9753	. . 3 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9757	. . 3 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		xblcntr 14734	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
5	3, 4	syl3an3 1284	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7896   RR*cxr 8077   < clt 8078   RR+crp 9745   *Metcxmet 14168   ballcbl 14170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-rp 9746  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-bl 14178

This theorem is referenced by:  bln0  14738  unirnbl  14743  blssex  14750  neibl  14811  blnei  14812  metss  14814  metrest  14826  xmettx  14830  metcnp3  14831  tgioo  14874