Theorem blcntr 15139

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9895	. . 3 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9899	. . 3 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		xblcntr 15137	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
5	3, 4	syl3an3 1308	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   RR*cxr 8212   < clt 8213   RR+crp 9887   *Metcxmet 14549   ballcbl 14551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-rp 9888  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-bl 14559

This theorem is referenced by:  bln0  15141  unirnbl  15146  blssex  15153  neibl  15214  blnei  15215  metss  15217  metrest  15229  xmettx  15233  metcnp3  15234  tgioo  15277