Theorem bndndx 9248

Description: A bounded real sequence A ( k ) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bndndx	|- ( E. x e. RR A. k e. NN ( A e. RR /\ A <_ x ) -> E. k e. NN A <_ k )

Distinct variable groups:   x, A   x, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem bndndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arch 9246	. . . 4 |- ( x e. RR -> E. k e. NN x < k )
2		nnre 8997	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. RR )
3		lelttr 8115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( A <_ x /\ x < k ) -> A < k ) )
4		ltle 8114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> ( A < k -> A <_ k ) )
5	4	3adant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR /\ k e. RR ) -> ( A < k -> A <_ k ) )
6	3, 5	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( A <_ x /\ x < k ) -> A <_ k ) )
7	6	exp5o 1228	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( k e. RR -> ( A <_ x -> ( x < k -> A <_ k ) ) ) ) )
8	7	com3l 81	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( k e. RR -> ( A e. RR -> ( A <_ x -> ( x < k -> A <_ k ) ) ) ) )
9	8	imp4b 350	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> ( x < k -> A <_ k ) ) )
10	9	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ k e. RR ) -> ( x < k -> ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> A <_ k ) ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ k e. NN ) -> ( x < k -> ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> A <_ k ) ) )
12	11	reximdva 2599	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( E. k e. NN x < k -> E. k e. NN ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> A <_ k ) ) )
13	1, 12	mpd 13	. . 3 |- ( x e. RR -> E. k e. NN ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> A <_ k ) )
14		r19.35-1 2647	. . 3 |- ( E. k e. NN ( ( A e. RR /\ A <_ x ) -> A <_ k ) -> ( A. k e. NN ( A e. RR /\ A <_ x ) -> E. k e. NN A <_ k ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( x e. RR -> ( A. k e. NN ( A e. RR /\ A <_ x ) -> E. k e. NN A <_ k ) )
16	15	rexlimiv 2608	1 |- ( E. x e. RR A. k e. NN ( A e. RR /\ A <_ x ) -> E. k e. NN A <_ k )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991

This theorem is referenced by: (None)