ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bndndx GIF version

Theorem bndndx 8927
Description: A bounded real sequence 𝐴(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
bndndx (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem bndndx
StepHypRef Expression
1 arch 8925 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘)
2 nnre 8684 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttr 7816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥𝑥 < 𝑘) → 𝐴 < 𝑘))
4 ltle 7815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘𝐴𝑘))
543adant2 983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘𝐴𝑘))
63, 5syld 45 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥𝑥 < 𝑘) → 𝐴𝑘))
76exp5o 1187 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴𝑥 → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))))
87com3l 81 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴𝑥 → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))))
98imp4b 345 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))
109com23 78 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
112, 10sylan2 282 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
1211reximdva 2509 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
131, 12mpd 13 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘))
14 r19.35-1 2556 . . 3 (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘))
1513, 14syl 14 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘))
1615rexlimiv 2518 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392   class class class wbr 3897  cr 7583   < clt 7764  cle 7765  cn 8677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1re 7678  ax-addrcl 7681  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8678
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator