ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bndndx GIF version

Theorem bndndx 9174
Description: A bounded real sequence 𝐴(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
bndndx (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem bndndx
StepHypRef Expression
1 arch 9172 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘)
2 nnre 8925 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttr 8045 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥𝑥 < 𝑘) → 𝐴 < 𝑘))
4 ltle 8044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘𝐴𝑘))
543adant2 1016 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘𝐴𝑘))
63, 5syld 45 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥𝑥 < 𝑘) → 𝐴𝑘))
76exp5o 1226 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴𝑥 → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))))
87com3l 81 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴𝑥 → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))))
98imp4b 350 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 < 𝑘𝐴𝑘)))
109com23 78 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
112, 10sylan2 286 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
1211reximdva 2579 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘)))
131, 12mpd 13 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘))
14 r19.35-1 2627 . . 3 (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑘) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘))
1513, 14syl 14 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘))
1615rexlimiv 2588 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4003  cr 7809   < clt 7991  cle 7992  cn 8918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator