Theorem bndndx 9113

Description: A bounded real sequence 𝐴(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bndndx	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem bndndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arch 9111	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘)
2		nnre 8864	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttr 7987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 < 𝑘))
4		ltle 7986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
5	4	3adant2 1006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
6	3, 5	syld 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 ≤ 𝑘))
7	6	exp5o 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
8	7	com3l 81	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
9	8	imp4b 348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))
10	9	com23 78	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
11	2, 10	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
12	11	reximdva 2568	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
13	1, 12	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘))
14		r19.35-1 2616	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
15	13, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
16	15	rexlimiv 2577	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  ℝcr 7752   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858

This theorem is referenced by: (None)