Theorem nnrecl 9540

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < A )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR )
2		gt0ap0 8944	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
3	1, 2	rerecclapd 9154	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 / A ) e. RR )
4		arch 9539	. . 3 |- ( ( 1 / A ) e. RR -> E. n e. NN ( 1 / A ) < n )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / A ) < n )
6		recgt0 9170	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
7	3, 6	jca 306	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( ( 1 / A ) e. RR /\ 0 < ( 1 / A ) ) )
8		nnre 9290	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. RR )
9		nngt0 9308	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> 0 < n )
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
11		ltrec 9203	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / A ) e. RR /\ 0 < ( 1 / A ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
13		recn 8302	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. CC )
15	14, 2	recrecapd 9105	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
16	15	breq2d 4137	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) <-> ( 1 / n ) < A ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) <-> ( 1 / n ) < A ) )
18	12, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < A ) )
19	18	rexbidva 2547	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( E. n e. NN ( 1 / A ) < n <-> E. n e. NN ( 1 / n ) < A ) )
20	5, 19	mpbid 147	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   < clt 8350   / cdiv 8992   NNcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10669  trilpolemlt1  16995