Theorem nnrecl 9328

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < A )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR )
2		gt0ap0 8734	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
3	1, 2	rerecclapd 8942	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 / A ) e. RR )
4		arch 9327	. . 3 |- ( ( 1 / A ) e. RR -> E. n e. NN ( 1 / A ) < n )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / A ) < n )
6		recgt0 8958	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
7	3, 6	jca 306	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( ( 1 / A ) e. RR /\ 0 < ( 1 / A ) ) )
8		nnre 9078	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. RR )
9		nngt0 9096	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> 0 < n )
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
11		ltrec 8991	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / A ) e. RR /\ 0 < ( 1 / A ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
13		recn 8093	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. CC )
15	14, 2	recrecapd 8893	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
16	15	breq2d 4071	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) <-> ( 1 / n ) < A ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) <-> ( 1 / n ) < A ) )
18	12, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / A ) < n <-> ( 1 / n ) < A ) )
19	18	rexbidva 2505	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( E. n e. NN ( 1 / A ) < n <-> E. n e. NN ( 1 / n ) < A ) )
20	5, 19	mpbid 147	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   < clt 8142   / cdiv 8780   NNcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10436  trilpolemlt1  16182