ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 9087
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-arch 7851 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
2 dfnn2 8835 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
32rexeqi 2657 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A  <RR  n  <->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
41, 3sylibr 133 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <RR  n )
5 nnre 8840 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
6 ltxrlt 7943 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
75, 6sylan2 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
87rexbidva 2454 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  A  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <RR  n ) )
94, 8mpbird 166 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   |^|cint 3807   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   1c1 7733    + caddc 7735    <RR cltrr 7736    < clt 7912   NNcn 8833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1re 7826  ax-addrcl 7829  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-inn 8834
This theorem is referenced by:  nnrecl  9088  bndndx  9089  btwnz  9283  expnbnd  10541  cvg1nlemres  10885  cvg1n  10886  resqrexlemga  10923  fsum3cvg3  11293  divcnv  11394  efcllem  11556  alzdvds  11745  dvdsbnd  11839
  Copyright terms: Public domain W3C validator