Theorem arch 9087

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	|- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem arch

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 7851	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
2		dfnn2 8835	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	2	rexeqi 2657	. . 3 |- ( E. n e. NN A <RR n <-> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
4	1, 3	sylibr 133	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A <RR n )
5		nnre 8840	. . . 4 |- ( n e. NN -> n e. RR )
6		ltxrlt 7943	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ n e. RR ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
7	5, 6	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ n e. NN ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
8	7	rexbidva 2454	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. n e. NN A < n <-> E. n e. NN A <RR n ) )
9	4, 8	mpbird 166	1 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   |^|cint 3807   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   1c1 7733   + caddc 7735   <RR cltrr 7736   < clt 7912   NNcn 8833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1re 7826  ax-addrcl 7829  ax-arch 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-inn 8834

This theorem is referenced by:  nnrecl  9088  bndndx  9089  btwnz  9283  expnbnd  10541  cvg1nlemres  10885  cvg1n  10886  resqrexlemga  10923  fsum3cvg3  11293  divcnv  11394  efcllem  11556  alzdvds  11745  dvdsbnd  11839