ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 9132
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-arch 7893 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
2 dfnn2 8880 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
32rexeqi 2670 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A  <RR  n  <->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
41, 3sylibr 133 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <RR  n )
5 nnre 8885 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
6 ltxrlt 7985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
75, 6sylan2 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
87rexbidva 2467 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  A  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <RR  n ) )
94, 8mpbird 166 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   |^|cint 3831   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   1c1 7775    + caddc 7777    <RR cltrr 7778    < clt 7954   NNcn 8878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-inn 8879
This theorem is referenced by:  nnrecl  9133  bndndx  9134  btwnz  9331  expnbnd  10599  cvg1nlemres  10949  cvg1n  10950  resqrexlemga  10987  fsum3cvg3  11359  divcnv  11460  efcllem  11622  alzdvds  11814  dvdsbnd  11911
  Copyright terms: Public domain W3C validator