Theorem arch 9458

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	|- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem arch

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8211	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
2		dfnn2 9204	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	2	rexeqi 2736	. . 3 |- ( E. n e. NN A <RR n <-> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
4	1, 3	sylibr 134	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A <RR n )
5		nnre 9209	. . . 4 |- ( n e. NN -> n e. RR )
6		ltxrlt 8304	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ n e. RR ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ n e. NN ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
8	7	rexbidva 2530	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. n e. NN A < n <-> E. n e. NN A <RR n ) )
9	4, 8	mpbird 167	1 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   E.wrex 2512   |^|cint 3933   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   1c1 8093   + caddc 8095   <RR cltrr 8096   < clt 8273   NNcn 9202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203

This theorem is referenced by:  nnrecl  9459  bndndx  9460  btwnz  9660  expnbnd  10988  cvg1nlemres  11625  cvg1n  11626  resqrexlemga  11663  fsum3cvg3  12037  divcnv  12138  efcllem  12300  alzdvds  12495  dvdsbnd  12607