Theorem arch 8998

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	|- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem arch

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 7763	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
2		dfnn2 8746	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	2	rexeqi 2634	. . 3 |- ( E. n e. NN A <RR n <-> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
4	1, 3	sylibr 133	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A <RR n )
5		nnre 8751	. . . 4 |- ( n e. NN -> n e. RR )
6		ltxrlt 7854	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ n e. RR ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
7	5, 6	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ n e. NN ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
8	7	rexbidva 2435	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. n e. NN A < n <-> E. n e. NN A <RR n ) )
9	4, 8	mpbird 166	1 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   |^|cint 3779   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   <RR cltrr 7648   < clt 7824   NNcn 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-inn 8745

This theorem is referenced by:  nnrecl  8999  bndndx  9000  btwnz  9194  expnbnd  10446  cvg1nlemres  10789  cvg1n  10790  resqrexlemga  10827  fsum3cvg3  11197  divcnv  11298  efcllem  11402  alzdvds  11588  dvdsbnd  11681