ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 8668
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-arch 7462 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
2 dfnn2 8422 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
32rexeqi 2567 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A  <RR  n  <->  E. n  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } A  <RR  n )
41, 3sylibr 132 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <RR  n )
5 nnre 8427 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
6 ltxrlt 7550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
75, 6sylan2 280 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  <  n  <->  A 
<RR  n ) )
87rexbidva 2377 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  A  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <RR  n ) )
94, 8mpbird 165 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   |^|cint 3688   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7347   1c1 7349    + caddc 7351    <RR cltrr 7352    < clt 7520   NNcn 8420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1re 7437  ax-addrcl 7440  ax-arch 7462
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-ltxr 7525  df-inn 8421
This theorem is referenced by:  nnrecl  8669  bndndx  8670  btwnz  8863  expnbnd  10073  cvg1nlemres  10414  cvg1n  10415  resqrexlemga  10452  fsum3cvg3  10785  divcnv  10887  efcllem  10945  alzdvds  11129  dvdsbnd  11222
  Copyright terms: Public domain W3C validator