Theorem arch 9398

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	|- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem arch

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 8150	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
2		dfnn2 9144	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	2	rexeqi 2735	. . 3 |- ( E. n e. NN A <RR n <-> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
4	1, 3	sylibr 134	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A <RR n )
5		nnre 9149	. . . 4 |- ( n e. NN -> n e. RR )
6		ltxrlt 8244	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ n e. RR ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
7	5, 6	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ n e. NN ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
8	7	rexbidva 2529	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. n e. NN A < n <-> E. n e. NN A <RR n ) )
9	4, 8	mpbird 167	1 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   |^|cint 3928   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   1c1 8032   + caddc 8034   <RR cltrr 8035   < clt 8213   NNcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  nnrecl  9399  bndndx  9400  btwnz  9598  expnbnd  10924  cvg1nlemres  11545  cvg1n  11546  resqrexlemga  11583  fsum3cvg3  11956  divcnv  12057  efcllem  12219  alzdvds  12414  dvdsbnd  12526