Theorem cnsscnp 13396

Description: The set of continuous functions is a subset of the set of continuous functions at a point. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cnsscnp	|- ( P e. X -> ( J Cn K ) C_ ( ( J CnP K ) ` P ) )

Proof of Theorem cnsscnp

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	cncnpi 13395	. . 3 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ P e. X ) -> f e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
3	2	expcom 116	. 2 |- ( P e. X -> ( f e. ( J Cn K ) -> f e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
4	3	ssrdv 3161	1 |- ( P e. X -> ( J Cn K ) C_ ( ( J CnP K ) ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   U.cuni 3807   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Cn ccn 13352   CnP ccnp 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-top 13163  df-topon 13176  df-cn 13355  df-cnp 13356

This theorem is referenced by: (None)