Theorem cnsscnp 12770

Description: The set of continuous functions is a subset of the set of continuous functions at a point. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cnsscnp	⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))

Proof of Theorem cnsscnp

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cncnpi 12769	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
3	2	expcom 115	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)))
4	3	ssrdv 3143	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ⊆ wss 3111  ∪ cuni 3783  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836   Cn ccn 12726   CnP ccnp 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-top 12537  df-topon 12550  df-cn 12729  df-cnp 12730

This theorem is referenced by: (None)