Theorem cncnpi 15110

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Proof of Theorem cncnpi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 |- X = U. J
2		eqid 2234	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 15086	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F : X --> U. K )
5		cnima 15102	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A e. X )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. X )
9		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( F ` A ) e. y )
10	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> F : X --> U. K )
11		ffn 5510	. . . . . . 7 |- ( F : X --> U. K -> F Fn X )
12		elpreima 5799	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
14	8, 9, 13	mpbir2and 953	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. ( `' F " y ) )
15		eqimss 3294	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> x C_ ( `' F " y ) )
16	15	biantrud 304	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
17		eleq2 2298	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> A e. ( `' F " y ) ) )
18	16, 17	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) <-> A e. ( `' F " y ) ) )
19	18	rspcev 2923	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " y ) e. J /\ A e. ( `' F " y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
20	6, 14, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
21	20	expr 375	. . 3 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
23		cntop1 15083	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
25	1	toptopon 14900	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
26	24, 25	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		cntop2 15084	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. Top )
29	2	toptopon 14900	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
31		iscnp3 15085	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
32	26, 30, 7, 31	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
33	4, 22, 32	mpbir2and 953	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3213   U.cuni 3916   `'ccnv 4750   "cima 4754   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Topctop 14879  TopOnctopon 14892   Cn ccn 15067   CnP ccnp 15068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-top 14880  df-topon 14893  df-cn 15070  df-cnp 15071

This theorem is referenced by:  cnsscnp  15111  cncnp  15112  lmcn  15133  dvcnp2cntop  15581  dvaddxxbr  15583  dvmulxxbr  15584  dvcoapbr  15589  dvcjbr  15590