Theorem cncnpi 14942

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Proof of Theorem cncnpi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 |- X = U. J
2		eqid 2229	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 14918	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F : X --> U. K )
5		cnima 14934	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A e. X )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. X )
9		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( F ` A ) e. y )
10	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> F : X --> U. K )
11		ffn 5479	. . . . . . 7 |- ( F : X --> U. K -> F Fn X )
12		elpreima 5762	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
14	8, 9, 13	mpbir2and 950	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. ( `' F " y ) )
15		eqimss 3279	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> x C_ ( `' F " y ) )
16	15	biantrud 304	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
17		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> A e. ( `' F " y ) ) )
18	16, 17	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) <-> A e. ( `' F " y ) ) )
19	18	rspcev 2908	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " y ) e. J /\ A e. ( `' F " y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
20	6, 14, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
21	20	expr 375	. . 3 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
23		cntop1 14915	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
25	1	toptopon 14732	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
26	24, 25	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		cntop2 14916	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. Top )
29	2	toptopon 14732	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
31		iscnp3 14917	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
32	26, 30, 7, 31	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
33	4, 22, 32	mpbir2and 950	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   U.cuni 3891   `'ccnv 4722   "cima 4726   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Topctop 14711  TopOnctopon 14724   Cn ccn 14899   CnP ccnp 14900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-top 14712  df-topon 14725  df-cn 14902  df-cnp 14903

This theorem is referenced by:  cnsscnp  14943  cncnp  14944  lmcn  14965  dvcnp2cntop  15413  dvaddxxbr  15415  dvmulxxbr  15416  dvcoapbr  15421  dvcjbr  15422