Theorem cncnpi 14407

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Proof of Theorem cncnpi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 |- X = U. J
2		eqid 2193	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 14383	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F : X --> U. K )
5		cnima 14399	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A e. X )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. X )
9		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( F ` A ) e. y )
10	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> F : X --> U. K )
11		ffn 5404	. . . . . . 7 |- ( F : X --> U. K -> F Fn X )
12		elpreima 5678	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
14	8, 9, 13	mpbir2and 946	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. ( `' F " y ) )
15		eqimss 3234	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> x C_ ( `' F " y ) )
16	15	biantrud 304	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
17		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> A e. ( `' F " y ) ) )
18	16, 17	bitr3d 190	. . . . . 6 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) <-> A e. ( `' F " y ) ) )
19	18	rspcev 2865	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " y ) e. J /\ A e. ( `' F " y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
20	6, 14, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
21	20	expr 375	. . 3 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
23		cntop1 14380	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
24	23	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
25	1	toptopon 14197	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
26	24, 25	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		cntop2 14381	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. Top )
29	2	toptopon 14197	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
31		iscnp3 14382	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
32	26, 30, 7, 31	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
33	4, 22, 32	mpbir2and 946	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   U.cuni 3836   `'ccnv 4659   "cima 4663   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Topctop 14176  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364   CnP ccnp 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-top 14177  df-topon 14190  df-cn 14367  df-cnp 14368

This theorem is referenced by:  cnsscnp  14408  cncnp  14409  lmcn  14430  dvcnp2cntop  14878  dvaddxxbr  14880  dvmulxxbr  14881  dvcoapbr  14886  dvcjbr  14887