Theorem cncnpi 12397

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Proof of Theorem cncnpi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . 4 |- X = U. J
2		eqid 2139	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 12373	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> U. K )
4	3	adantr 274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F : X --> U. K )
5		cnima 12389	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6	5	ad2ant2r 500	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
7		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A e. X )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. X )
9		simprr 521	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( F ` A ) e. y )
10	3	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> F : X --> U. K )
11		ffn 5272	. . . . . . 7 |- ( F : X --> U. K -> F Fn X )
12		elpreima 5539	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> ( A e. ( `' F " y ) <-> ( A e. X /\ ( F ` A ) e. y ) ) )
14	8, 9, 13	mpbir2and 928	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> A e. ( `' F " y ) )
15		eqimss 3151	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> x C_ ( `' F " y ) )
16	15	biantrud 302	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
17		eleq2 2203	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( A e. x <-> A e. ( `' F " y ) ) )
18	16, 17	bitr3d 189	. . . . . 6 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) <-> A e. ( `' F " y ) ) )
19	18	rspcev 2789	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " y ) e. J /\ A e. ( `' F " y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
20	6, 14, 19	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ ( y e. K /\ ( F ` A ) e. y ) ) -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) )
21	20	expr 372	. . 3 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2505	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) )
23		cntop1 12370	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
24	23	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
25	1	toptopon 12185	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
26	24, 25	sylib 121	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27		cntop2 12371	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
28	27	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. Top )
29	2	toptopon 12185	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
30	28, 29	sylib 121	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
31		iscnp3 12372	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
32	26, 30, 7, 31	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> U. K /\ A. y e. K ( ( F ` A ) e. y -> E. x e. J ( A e. x /\ x C_ ( `' F " y ) ) ) ) ) )
33	4, 22, 32	mpbir2and 928	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. X ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   U.cuni 3736   `'ccnv 4538   "cima 4542   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   CnP ccnp 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12165  df-topon 12178  df-cn 12357  df-cnp 12358

This theorem is referenced by:  cnsscnp  12398  cncnp  12399  lmcn  12420  dvcnp2cntop  12832  dvaddxxbr  12834  dvmulxxbr  12835  dvcoapbr  12840  dvcjbr  12841