Theorem disjsnxp 6433

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	|- Disj j e. A ( { j } X. B )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   B( j)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 4105	. . . 4 |- Disj j e. A { j }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Disj j e. A { j } )
3	2	disjxp1 6432	. 2 |- ( T. -> Disj j e. A ( { j } X. B ) )
4	3	mptru 1407	1 |- Disj j e. A ( { j } X. B )

Syntax hints:   T. wtru 1399   {csn 3689  Disj wdisj 4085   X. cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rmo 2528  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-1st 6334

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  12120  fisumcom2  12124  fprod2dlemstep  12308  fprodcom2fi  12312