Theorem disjsnxp 6401

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	|- Disj j e. A ( { j } X. B )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   B( j)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 4084	. . . 4 |- Disj j e. A { j }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Disj j e. A { j } )
3	2	disjxp1 6400	. 2 |- ( T. -> Disj j e. A ( { j } X. B ) )
4	3	mptru 1406	1 |- Disj j e. A ( { j } X. B )

Syntax hints:   T. wtru 1398   {csn 3669  Disj wdisj 4064   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rmo 2518  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-1st 6302

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11994  fisumcom2  11998  fprod2dlemstep  12182  fprodcom2fi  12186