Theorem disjsnxp 6127

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	|- Disj j e. A ( { j } X. B )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   B( j)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 3920	. . . 4 |- Disj j e. A { j }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Disj j e. A { j } )
3	2	disjxp1 6126	. 2 |- ( T. -> Disj j e. A ( { j } X. B ) )
4	3	mptru 1340	1 |- Disj j e. A ( { j } X. B )

Syntax hints:   T. wtru 1332   {csn 3522  Disj wdisj 3901   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rmo 2422  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fo 5124  df-fv 5126  df-1st 6031

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11196  fisumcom2  11200