Theorem disjsnxp 6290

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	|- Disj j e. A ( { j } X. B )

Distinct variable group:   A, j

Allowed substitution hint:   B( j)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 4025	. . . 4 |- Disj j e. A { j }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Disj j e. A { j } )
3	2	disjxp1 6289	. 2 |- ( T. -> Disj j e. A ( { j } X. B ) )
4	3	mptru 1373	1 |- Disj j e. A ( { j } X. B )

Syntax hints:   T. wtru 1365   {csn 3618  Disj wdisj 4006   X. cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rmo 2480  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fo 5260  df-fv 5262  df-1st 6193

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11577  fisumcom2  11581  fprod2dlemstep  11765  fprodcom2fi  11769