Theorem disjsnxp 6205

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 3978	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗})
3	2	disjxp1 6204	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
4	3	mptru 1352	1 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Syntax hints:  ⊤wtru 1344  {csn 3576  Disj wdisj 3959   × cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rmo 2452  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fo 5194  df-fv 5196  df-1st 6108

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11375  fisumcom2  11379  fprod2dlemstep  11563  fprodcom2fi  11567