Theorem disjsnxp 6216

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 3985	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗})
3	2	disjxp1 6215	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
4	3	mptru 1357	1 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Syntax hints:  ⊤wtru 1349  {csn 3583  Disj wdisj 3966   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rmo 2456  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206  df-1st 6119

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11397  fisumcom2  11401  fprod2dlemstep  11585  fprodcom2fi  11589