Theorem disjsnxp 6304

Description: The sets in the cartesian product of singletons with other sets, are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjsnxp	⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem disjsnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sndisj 4030	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗}
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 {𝑗})
3	2	disjxp1 6303	. 2 ⊢ (⊤ → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
4	3	mptru 1373	1 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)

Syntax hints:  ⊤wtru 1365  {csn 3623  Disj wdisj 4011   × cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rmo 2483  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fo 5265  df-fv 5267  df-1st 6207

This theorem is referenced by:  fsum2dlemstep  11616  fisumcom2  11620  fprod2dlemstep  11804  fprodcom2fi  11808