Theorem rdgruledefgg 6389

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgruledefgg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, F

Allowed substitution hints:   A( x, f)   F( f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2760	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5266	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2752	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2752	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
5		vex 2752	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6	4, 5	fvex 5547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
7		funfvex 5544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( g ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
8	7	funfni 5328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
9	6, 8	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2561	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	4	dmex 4905	. . . . . . . . . . 11 |- dom g e. _V
12		iunexg 6133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14	10, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
15		unexg 4455	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	14, 15	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F Fn _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2561	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
19		dmmptg 5138	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
21	3, 20	eleqtrrid 2277	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
22		funfvex 5544	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	2, 21, 22	sylancr 414	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
24	23, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
25	1, 24	sylan2 286	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749   u. cun 3139   U_ciun 3898   |-> cmpt 4076   dom cdm 4638   Fun wfun 5222   Fn wfn 5223   ` cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6390  rdgexggg  6391  rdgifnon  6393  rdgivallem  6395