Theorem rdgruledefgg 6442

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgruledefgg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, F

Allowed substitution hints:   A( x, f)   F( f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5297	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2766	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2766	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
5		vex 2766	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6	4, 5	fvex 5581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
7		funfvex 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( g ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
8	7	funfni 5361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
9	6, 8	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2571	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	4	dmex 4933	. . . . . . . . . . 11 |- dom g e. _V
12		iunexg 6185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14	10, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
15		unexg 4479	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	14, 15	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F Fn _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2571	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
19		dmmptg 5168	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
21	3, 20	eleqtrrid 2286	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
22		funfvex 5578	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	2, 21, 22	sylancr 414	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
24	23, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
25	1, 24	sylan2 286	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   u. cun 3155   U_ciun 3917   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   ` cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6443  rdgexggg  6444  rdgifnon  6446  rdgivallem  6448