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Theorem rdgruledefgg 6226
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgruledefgg  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
Distinct variable groups:    A, g    x, g, F
Allowed substitution hints:    A( x, f)    F( f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg
StepHypRef Expression
1 elex 2668 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 funmpt 5119 . . . 4  |-  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
3 vex 2660 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
4 vex 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
5 vex 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
64, 5fvex 5395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
7 funfvex 5392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  (
g `  x )  e.  dom  F )  -> 
( F `  (
g `  x )
)  e.  _V )
87funfni 5181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  ( g `  x
)  e.  _V )  ->  ( F `  (
g `  x )
)  e.  _V )
96, 8mpan2 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  _V  ->  ( F `  ( g `  x ) )  e. 
_V )
109ralrimivw 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  _V  ->  A. x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) )  e. 
_V )
114dmex 4763 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  g  e.  _V
12 iunexg 5971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  g  e.  _V  /\ 
A. x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )
1311, 12mpan 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  dom  g ( F `  ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) )  e. 
_V )
1410, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  _V  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) )  e. 
_V )
15 unexg 4324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
1614, 15sylan2 282 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F  Fn  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
1716ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
1817ralrimivw 2480 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. g  e.  _V  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  e.  _V )
19 dmmptg 4994 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  _V  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  e.  _V  ->  dom  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  _V )
2018, 19syl 14 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  dom  ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  =  _V )
213, 20syl5eleqr 2204 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  f  e.  dom  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
22 funfvex 5392 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  /\  f  e.  dom  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )  ->  (
( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V )
232, 21, 22sylancr 408 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  _V )
2423, 2jctil 308 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
251, 24sylan2 282 1  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   _Vcvv 2657    u. cun 3035   U_ciun 3779    |-> cmpt 3949   dom cdm 4499   Fun wfun 5075    Fn wfn 5076   ` cfv 5081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089
This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6227  rdgexggg  6228  rdgifnon  6230  rdgivallem  6232
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