Theorem rdgruledefgg 6519

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgruledefgg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, F

Allowed substitution hints:   A( x, f)   F( f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5355	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2802	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
5		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6	4, 5	fvex 5646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
7		funfvex 5643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( g ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
8	7	funfni 5422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
9	6, 8	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2604	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	4	dmex 4990	. . . . . . . . . . 11 |- dom g e. _V
12		iunexg 6262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14	10, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
15		unexg 4533	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	14, 15	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F Fn _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2604	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
19		dmmptg 5225	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
21	3, 20	eleqtrrid 2319	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
22		funfvex 5643	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	2, 21, 22	sylancr 414	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
24	23, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
25	1, 24	sylan2 286	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   u. cun 3195   U_ciun 3964   |-> cmpt 4144   dom cdm 4718   Fun wfun 5311   Fn wfn 5312   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6520  rdgexggg  6521  rdgifnon  6523  rdgivallem  6525