Theorem rdgruledefgg 6484

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgruledefgg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, F

Allowed substitution hints:   A( x, f)   F( f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2788	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5328	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2779	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
5		vex 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6	4, 5	fvex 5619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
7		funfvex 5616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( g ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
8	7	funfni 5395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
9	6, 8	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2582	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	4	dmex 4964	. . . . . . . . . . 11 |- dom g e. _V
12		iunexg 6227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14	10, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
15		unexg 4508	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	14, 15	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F Fn _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2582	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
19		dmmptg 5199	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
21	3, 20	eleqtrrid 2297	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
22		funfvex 5616	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	2, 21, 22	sylancr 414	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
24	23, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
25	1, 24	sylan2 286	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   u. cun 3172   U_ciun 3941   |-> cmpt 4121   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6485  rdgexggg  6486  rdgifnon  6488  rdgivallem  6490