Theorem rdgruledefgg 6343

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgruledefgg	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, F

Allowed substitution hints:   A( x, f)   F( f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem rdgruledefgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5226	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2729	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
5		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6	4, 5	fvex 5506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
7		funfvex 5503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ ( g ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
8	7	funfni 5288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
9	6, 8	mpan2 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
10	9	ralrimivw 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	4	dmex 4870	. . . . . . . . . . 11 |- dom g e. _V
12		iunexg 6087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	11, 12	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14	10, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
15		unexg 4421	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	14, 15	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ F Fn _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2540	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
19		dmmptg 5101	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
21	3, 20	eleqtrrid 2256	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
22		funfvex 5503	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	2, 21, 22	sylancr 411	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
24	23, 2	jctil 310	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
25	1, 24	sylan2 284	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   u. cun 3114   U_ciun 3866   |-> cmpt 4043   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6344  rdgexggg  6345  rdgifnon  6347  rdgivallem  6349