Theorem dvmptmulx 15163

Description: Function-builder for derivative, product rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )
dvmptadd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvmptadd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
dvmptadd.dc	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulx	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptmulx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvmptclx.ss	. . 3 |- ( ph -> X C_ S )
3		dvmptadd.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
4	3	fmpttd 5734	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
5		dvmptadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
6	5	fmpttd 5734	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> CC )
7		dvmptadd.da	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
8	7	dmeqd 4879	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
9		dvmptadd.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
10	9	ralrimiva 2578	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
11		dmmptg 5179	. . . . 5 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
13	8, 12	eqtrd 2237	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
14		dvmptadd.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )
15	14	dmeqd 4879	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = dom ( x e. X |-> D ) )
16		dvmptadd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
17	16	ralrimiva 2578	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X D e. W )
18		dmmptg 5179	. . . . 5 |- ( A. x e. X D e. W -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
19	17, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
20	15, 19	eqtrd 2237	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = X )
21	1, 2, 4, 6, 13, 20	dvimulf 15149	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) ) = ( ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) oF + ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) ) )
22	1, 2	ssexd 4183	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
23		eqidd 2205	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
24		eqidd 2205	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C ) )
25	22, 3, 5, 23, 24	offval2 6173	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( A x. C ) ) )
26	25	oveq2d 5959	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) )
27	1, 3, 9, 7, 2	dvmptclx 15161	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
28	27, 5	mulcld 8092	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B x. C ) e. CC )
29	1, 5, 16, 14, 2	dvmptclx 15161	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
30	29, 3	mulcld 8092	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D x. A ) e. CC )
31	22, 9, 5, 7, 24	offval2 6173	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( B x. C ) ) )
32	22, 16, 3, 14, 23	offval2 6173	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( D x. A ) ) )
33	22, 28, 30, 31, 32	offval2 6173	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) oF + ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
34	21, 26, 33	3eqtr3d 2245	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   {cpr 3633   |-> cmpt 4104   dom cdm 4674  (class class class)co 5943   oFcof 6155   CCcc 7922   RRcr 7923   + caddc 7927   x. cmul 7929   _D cdv 15098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-pm 6737  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-rest 13044  df-topgen 13063  df-psmet 14276  df-xmet 14277  df-met 14278  df-bl 14279  df-mopn 14280  df-top 14441  df-topon 14454  df-bases 14486  df-ntr 14539  df-cn 14631  df-cnp 14632  df-tx 14696  df-cncf 15014  df-limced 15099  df-dvap 15100

This theorem is referenced by:  dvmptcmulcn  15164