Theorem dvmptmulx 14867

Description: Function-builder for derivative, product rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )
dvmptadd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvmptadd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
dvmptadd.dc	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulx	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptmulx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvmptclx.ss	. . 3 |- ( ph -> X C_ S )
3		dvmptadd.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
4	3	fmpttd 5713	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
5		dvmptadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
6	5	fmpttd 5713	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> CC )
7		dvmptadd.da	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
8	7	dmeqd 4864	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
9		dvmptadd.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
10	9	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
11		dmmptg 5163	. . . . 5 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
13	8, 12	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
14		dvmptadd.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )
15	14	dmeqd 4864	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = dom ( x e. X |-> D ) )
16		dvmptadd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
17	16	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X D e. W )
18		dmmptg 5163	. . . . 5 |- ( A. x e. X D e. W -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
19	17, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
20	15, 19	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = X )
21	1, 2, 4, 6, 13, 20	dvimulf 14855	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) ) = ( ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) oF + ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) ) )
22	1, 2	ssexd 4169	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
23		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
24		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C ) )
25	22, 3, 5, 23, 24	offval2 6146	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( A x. C ) ) )
26	25	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) )
27	1, 3, 9, 7, 2	dvmptclx 14865	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
28	27, 5	mulcld 8040	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B x. C ) e. CC )
29	1, 5, 16, 14, 2	dvmptclx 14865	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
30	29, 3	mulcld 8040	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D x. A ) e. CC )
31	22, 9, 5, 7, 24	offval2 6146	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( B x. C ) ) )
32	22, 16, 3, 14, 23	offval2 6146	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( D x. A ) ) )
33	22, 28, 30, 31, 32	offval2 6146	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF x. ( x e. X |-> C ) ) oF + ( ( S _D ( x e. X |-> C ) ) oF x. ( x e. X |-> A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )
34	21, 26, 33	3eqtr3d 2234	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A x. C ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( B x. C ) + ( D x. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   {cpr 3619   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659  (class class class)co 5918   oFcof 6128   CCcc 7870   RRcr 7871   + caddc 7875   x. cmul 7877   _D cdv 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  dvmptcmulcn  14868