Theorem dvmptaddx 15743

Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )
dvmptadd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvmptadd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
dvmptadd.dc	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptaddx	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptaddx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvmptclx.ss	. . 3 |- ( ph -> X C_ S )
3		dvmptadd.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
4	3	fmpttd 5854	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
5		dvmptadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
6	5	fmpttd 5854	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> CC )
7		dvmptadd.da	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
8	7	dmeqd 4978	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
9		dvmptadd.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
10	9	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
11		dmmptg 5280	. . . . 5 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
13	8, 12	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
14		dvmptadd.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )
15	14	dmeqd 4978	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = dom ( x e. X |-> D ) )
16		dvmptadd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
17	16	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X D e. W )
18		dmmptg 5280	. . . . 5 |- ( A. x e. X D e. W -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
19	17, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
20	15, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = X )
21	1, 2, 4, 6, 13, 20	dviaddf 15729	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) ) = ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF + ( S _D ( x e. X |-> C ) ) ) )
22	1, 2	ssexd 4268	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
23		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
24		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C ) )
25	22, 3, 5, 23, 24	offval2 6308	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( A + C ) ) )
26	25	oveq2d 6091	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) )
27	22, 9, 16, 7, 14	offval2 6308	. 2 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF + ( S _D ( x e. X |-> C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )
28	21, 26, 27	3eqtr3d 2279	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3706   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769  (class class class)co 6075   oFcof 6290   CCcc 8167   RRcr 8168   + caddc 8172   _D cdv 15679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-addf 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pm 6915  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  15747  dvmptfsum  15749