Theorem dvmptaddx 15039

Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptadd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptadd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptadd.da	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptclx.ss	|- ( ph -> X C_ S )
dvmptadd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvmptadd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
dvmptadd.dc	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptaddx	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptaddx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvmptclx.ss	. . 3 |- ( ph -> X C_ S )
3		dvmptadd.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
4	3	fmpttd 5720	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
5		dvmptadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
6	5	fmpttd 5720	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> CC )
7		dvmptadd.da	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
8	7	dmeqd 4869	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = dom ( x e. X |-> B ) )
9		dvmptadd.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
10	9	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. V )
11		dmmptg 5168	. . . . 5 |- ( A. x e. X B e. V -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
13	8, 12	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = X )
14		dvmptadd.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> D ) )
15	14	dmeqd 4869	. . . 4 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = dom ( x e. X |-> D ) )
16		dvmptadd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. W )
17	16	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X D e. W )
18		dmmptg 5168	. . . . 5 |- ( A. x e. X D e. W -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
19	17, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> D ) = X )
20	15, 19	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> dom ( S _D ( x e. X |-> C ) ) = X )
21	1, 2, 4, 6, 13, 20	dviaddf 15025	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) ) = ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF + ( S _D ( x e. X |-> C ) ) ) )
22	1, 2	ssexd 4174	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
23		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
24		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C ) )
25	22, 3, 5, 23, 24	offval2 6155	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) = ( x e. X |-> ( A + C ) ) )
26	25	oveq2d 5941	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( ( x e. X |-> A ) oF + ( x e. X |-> C ) ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) )
27	22, 9, 16, 7, 14	offval2 6155	. 2 |- ( ph -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) oF + ( S _D ( x e. X |-> C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )
28	21, 26, 27	3eqtr3d 2237	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A + C ) ) ) = ( x e. X |-> ( B + D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   {cpr 3624   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664  (class class class)co 5925   oFcof 6137   CCcc 7894   RRcr 7895   + caddc 7899   _D cdv 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  15043  dvmptfsum  15045