Theorem limcrcl 14894

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	|- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables d e f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limced 14892	. . 3 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
2	1	elmpocl 6118	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) )
3		cnex 8003	. . . . 5 |- CC e. _V
4	3, 3	elpm2 6739	. . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) )
5	4	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
6		df-3an 982	. . 3 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	2, 7	sylib 122	1 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^pm cpm 6708   CCcc 7877   < clt 8061   - cmin 8197   # cap 8608   RR+crp 9728   abscabs 11162   lim CC climc 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pm 6710  df-limced 14892

This theorem is referenced by:  limccl  14895  limcdifap  14898  limcimolemlt  14900  limcresi  14902  limccnpcntop  14911  limccnp2lem  14912  limccnp2cntop  14913  limccoap  14914