Theorem limcrcl 15245

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	|- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables d e f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limced 15243	. . 3 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
2	1	elmpocl 6164	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) )
3		cnex 8084	. . . . 5 |- CC e. _V
4	3, 3	elpm2 6790	. . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) )
5	4	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
6		df-3an 983	. . 3 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	2, 7	sylib 122	1 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   dom cdm 4693   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^pm cpm 6759   CCcc 7958   < clt 8142   - cmin 8278   # cap 8689   RR+crp 9810   abscabs 11423   lim CC climc 15241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pm 6761  df-limced 15243

This theorem is referenced by:  limccl  15246  limcdifap  15249  limcimolemlt  15251  limcresi  15253  limccnpcntop  15262  limccnp2lem  15263  limccnp2cntop  15264  limccoap  15265