Theorem limcrcl 15130

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	|- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables d e f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limced 15128	. . 3 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
2	1	elmpocl 6141	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) )
3		cnex 8049	. . . . 5 |- CC e. _V
4	3, 3	elpm2 6767	. . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) )
5	4	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
6		df-3an 983	. . 3 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	2, 7	sylib 122	1 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   dom cdm 4675   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ^pm cpm 6736   CCcc 7923   < clt 8107   - cmin 8243   # cap 8654   RR+crp 9775   abscabs 11308   lim CC climc 15126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pm 6738  df-limced 15128

This theorem is referenced by:  limccl  15131  limcdifap  15134  limcimolemlt  15136  limcresi  15138  limccnpcntop  15147  limccnp2lem  15148  limccnp2cntop  15149  limccoap  15150