Theorem limcrcl 14812

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	|- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables d e f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limced 14810	. . 3 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
2	1	elmpocl 6113	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) )
3		cnex 7996	. . . . 5 |- CC e. _V
4	3, 3	elpm2 6734	. . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) )
5	4	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
6		df-3an 982	. . 3 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	2, 7	sylib 122	1 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   dom cdm 4659   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   < clt 8054   - cmin 8190   # cap 8600   RR+crp 9719   abscabs 11141   lim CC climc 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pm 6705  df-limced 14810

This theorem is referenced by:  limccl  14813  limcdifap  14816  limcimolemlt  14818  limcresi  14820  limccnpcntop  14829  limccnp2lem  14830  limccnp2cntop  14831  limccoap  14832