Theorem eluz1i 9564

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 |- M e. ZZ
2		eluz1 9561	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   <_ cle 8022   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5898  df-neg 8160  df-z 9283  df-uz 9558

This theorem is referenced by:  eluzaddi  9583  eluzsubi  9584  eluz2b1  9630  fz0to4untppr  10153  ef01bndlem  11795  sin01bnd  11796  cos01bnd  11797  sin01gt0  11800