ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz1i Unicode version

Theorem eluz1i 9340
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 9337 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7943  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  eluzaddi  9359  eluzsubi  9360  eluz2b1  9402  ef01bndlem  11470  sin01bnd  11471  cos01bnd  11472  sin01gt0  11475
  Copyright terms: Public domain W3C validator