Theorem eluz1i 9864

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 |- M e. ZZ
2		eluz1 9860	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354   <_ cle 8311   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  eluzaddi  9884  eluzsubi  9885  eluz2b1  9936  fz0to4untppr  10462  ef01bndlem  12446  sin01bnd  12447  cos01bnd  12448  sin01gt0  12452  ballotfilem2  13149