Theorem eluz1i 9945

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 |- M e. ZZ
2		eluz1 9941	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  eluzaddi  9965  eluzsubi  9966  eluz2b1  10017  fz0to4untppr  10548  ef01bndlem  12548  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  sin01gt0  12554  ballotfilem2  13286  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem9  16319