Theorem sin01bnd 11764

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8003	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 7955	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 9935	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1012	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	resin4p 11725	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2183	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) )
10	5	resincld 11730	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. RR )
11	10	recnd 7985	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
12		3nn0 9193	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
13		reexpcl 10536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
14	5, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
15		6nn 9083	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
16		nndivre 8954	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
18	5, 17	resubcld 8337	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. RR )
19	18	recnd 7985	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. CC )
20		ax-icn 7905	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
21	5	recnd 7985	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
22		mulcl 7937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
24		4nn0 9194	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
25	6	eftlcl 11695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
27	26	imcld 10947	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
28	27	recnd 7985	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
29	11, 19, 28	subaddd 8285	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) ) )
30	9, 29	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
31	30	fveq2d 5519	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) = ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
32	28	abscld 11189	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
33	26	abscld 11189	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
34		absimle 11092	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	26, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10536	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 24, 36	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 8954	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 15, 38	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 11763	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 3 e. NN0 )
42		4z 9282	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
43		3re 8992	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
44		4re 8995	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
45		3lt4 9090	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
46	43, 44, 45	ltleii 8059	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
47		3z 9281	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
48	47	eluz1i 9534	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
49	42, 46, 48	mpbir2an 942	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
50	49	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) )
51	4	simp2bi 1013	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
52		0re 7956	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
53		ltle 8044	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
54	52, 5, 53	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	51, 54	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
56	4	simp3bi 1014	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
57	5, 41, 50, 55, 56	leexp2rd 10683	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) )
58		6re 8999	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
60		6pos 9019	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
61	60	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
62		lediv1 8825	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 3 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
63	37, 14, 59, 61, 62	syl112anc 1242	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
64	57, 63	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
65	33, 39, 17, 40, 64	ltletrd 8379	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
66	32, 33, 17, 35, 65	lelttrd 8081	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
67	31, 66	eqbrtrd 4025	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
68	10, 18, 17	absdifltd 11186	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) )
69	17	recnd 7985	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. CC )
70	21, 69, 69	subsub4d 8298	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) )
71	14	recnd 7985	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
72		3cn 8993	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
73		3ap0 9014	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 # 0
74	72, 73	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
75		2cn 8989	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
76		2ap0 9011	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
77	75, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
78		divdivap1 8679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
79	74, 77, 78	mp3an23 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ^ 3 ) e. CC -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
80	71, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
81		3t2e6 9074	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. 2 ) = 6
82	81	oveq2i 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 6 )
83	80, 82	eqtr2di 2227	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) = ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) )
84	83, 83	oveq12d 5892	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) )
85		3nn 9080	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
86		nndivre 8954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
87	14, 85, 86	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
88	87	recnd 7985	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. CC )
89	88	2halvesd 9163	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
90	84, 89	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
91	90	oveq2d 5890	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
92	70, 91	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
93	92	breq1d 4013	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) <-> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) ) )
94	21, 69	npcand 8271	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = A )
95	94	breq2d 4015	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) <-> ( sin ` A ) < A ) )
96	93, 95	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
97	68, 96	bitrd 188	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
98	67, 97	mpbid 147	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   _ici 7812   + caddc 7813   x. cmul 7815   RR*cxr 7990   < clt 7991   <_ cle 7992   - cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628   NNcn 8918   2c2 8969   3c3 8970   4c4 8971   6c6 8973   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   (,]cioc 9888   ^cexp 10518   !cfa 10704   Imcim 10849   abscabs 11005   sum_csu 11360   sincsin 11651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ioc 9892  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-sin 11657

This theorem is referenced by:  sin01gt0  11768  tangtx  14229  pigt3  14235