Theorem sin01bnd 11464

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7812	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 7765	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 996	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	resin4p 11425	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) = ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2145	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) )
10	5	resincld 11430	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. RR )
11	10	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
12		3nn0 8995	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
13		reexpcl 10310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
14	5, 12, 13	sylancl 409	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. RR )
15		6nn 8885	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
16		nndivre 8756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 409	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. RR )
18	5, 17	resubcld 8143	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. RR )
19	18	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) e. CC )
20		ax-icn 7715	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
21	5	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
22		mulcl 7747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
24		4nn0 8996	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
25	6	eftlcl 11394	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancl 409	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
27	26	imcld 10711	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
28	27	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
29	11, 19, 28	subaddd 8091	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( sin ` A ) ) )
30	9, 29	mpbird 166	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
31	30	fveq2d 5425	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) = ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
32	28	abscld 10953	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
33	26	abscld 10953	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
34		absimle 10856	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	26, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10310	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 24, 36	sylancl 409	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 8756	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 15, 38	sylancl 409	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 11463	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 3 e. NN0 )
42		4z 9084	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
43		3re 8794	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
44		4re 8797	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
45		3lt4 8892	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
46	43, 44, 45	ltleii 7866	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
47		3z 9083	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
48	47	eluz1i 9333	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
49	42, 46, 48	mpbir2an 926	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
50	49	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) )
51	4	simp2bi 997	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
52		0re 7766	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
53		ltle 7851	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
54	52, 5, 53	sylancr 410	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	51, 54	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
56	4	simp3bi 998	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
57	5, 41, 50, 55, 56	leexp2rd 10454	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) )
58		6re 8801	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
60		6pos 8821	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
61	60	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
62		lediv1 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 3 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
63	37, 14, 59, 61, 62	syl112anc 1220	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 3 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) )
64	57, 63	mpbid 146	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
65	33, 39, 17, 40, 64	ltletrd 8185	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
66	32, 33, 17, 35, 65	lelttrd 7887	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Im ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
67	31, 66	eqbrtrd 3950	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) )
68	10, 18, 17	absdifltd 10950	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) )
69	17	recnd 7794	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) e. CC )
70	21, 69, 69	subsub4d 8104	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) )
71	14	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
72		3cn 8795	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
73		3ap0 8816	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 # 0
74	72, 73	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
75		2cn 8791	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
76		2ap0 8813	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
77	75, 76	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
78		divdivap1 8483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
79	74, 77, 78	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ^ 3 ) e. CC -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
80	71, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) = ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) )
81		3t2e6 8876	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. 2 ) = 6
82	81	oveq2i 5785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 3 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 6 )
83	80, 82	syl6req 2189	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 6 ) = ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) )
84	83, 83	oveq12d 5792	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) )
85		3nn 8882	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
86		nndivre 8756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 3 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
87	14, 85, 86	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. RR )
88	87	recnd 7794	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 3 ) / 3 ) e. CC )
89	88	2halvesd 8965	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) + ( ( ( A ^ 3 ) / 3 ) / 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
90	84, 89	eqtrd 2172	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 3 ) / 3 ) )
91	90	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A - ( ( ( A ^ 3 ) / 6 ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
92	70, 91	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) )
93	92	breq1d 3939	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) <-> ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) ) )
94	21, 69	npcand 8077	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) = A )
95	94	breq2d 3941	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) <-> ( sin ` A ) < A ) )
96	93, 95	anbi12d 464	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
97	68, 96	bitrd 187	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sin ` A ) - ( A - ( ( A ^ 3 ) / 6 ) ) ) ) < ( ( A ^ 3 ) / 6 ) <-> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) ) )
98	67, 97	mpbid 146	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A - ( ( A ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` A ) /\ ( sin ` A ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   3c3 8772   4c4 8773   6c6 8775   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   (,]cioc 9672   ^cexp 10292   !cfa 10471   Imcim 10613   abscabs 10769   sum_csu 11122   sincsin 11350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356

This theorem is referenced by:  sin01gt0  11468  tangtx  12919  pigt3  12925