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Theorem sin01bnd 11470
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 7819 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 7772 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 9726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 996 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2139 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76resin4p 11431 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2145 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( Im
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( sin `  A
) )
105resincld 11436 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
1110recnd 7801 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 3nn0 9002 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
13 reexpcl 10317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  RR )
145, 12, 13sylancl 409 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  RR )
15 6nn 8892 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
16 nndivre 8763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  6
)  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  RR )
185, 17resubcld 8150 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  RR )
1918recnd 7801 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  CC )
20 ax-icn 7722 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
215recnd 7801 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
22 mulcl 7754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2320, 21, 22sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
24 4nn0 9003 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
256eftlcl 11401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2726imcld 10718 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2827recnd 7801 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2911, 19, 28subaddd 8098 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( sin `  A
) ) )
309, 29mpbird 166 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
3130fveq2d 5425 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) ) )
3228abscld 10960 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3326abscld 10960 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
34 absimle 10863 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3526, 34syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 10317 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 24, 36sylancl 409 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 8763 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 15, 38sylancl 409 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 11469 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
4112a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  3  e.  NN0 )
42 4z 9091 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43 3re 8801 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
44 4re 8804 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
45 3lt4 8899 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
4643, 44, 45ltleii 7873 . . . . . . . . 9  |-  3  <_  4
47 3z 9090 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
4847eluz1i 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4942, 46, 48mpbir2an 926 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
5049a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
514simp2bi 997 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
52 0re 7773 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
53 ltle 7858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5452, 5, 53sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5551, 54mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
564simp3bi 998 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
575, 41, 50, 55, 56leexp2rd 10461 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 ) )
58 6re 8808 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5958a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
60 6pos 8828 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6160a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
62 lediv1 8634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6337, 14, 59, 61, 62syl112anc 1220 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6457, 63mpbid 146 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )
6533, 39, 17, 40, 64ltletrd 8192 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )
6632, 33, 17, 35, 65lelttrd 7894 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6731, 66eqbrtrd 3950 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6810, 18, 17absdifltd 10957 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) ) )
6917recnd 7801 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  CC )
7021, 69, 69subsub4d 8111 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( ( A ^ 3 )  / 
6 )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) )
7114recnd 7801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
72 3cn 8802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
73 3ap0 8823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3 #  0
7472, 73pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  CC  /\  3 #  0 )
75 2cn 8798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
76 2ap0 8820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2 #  0
7775, 76pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
78 divdivap1 8490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3 #  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 )  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
8071, 79syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
81 3t2e6 8883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8281oveq2i 5785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  6
)
8380, 82syl6req 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 ) )
8483, 83oveq12d 5792 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
) ) )
85 3nn 8889 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
86 nndivre 8763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
8714, 85, 86sylancl 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
8887recnd 7801 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
89882halvesd 8972 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9084, 89eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9190oveq2d 5790 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( (
( A ^ 3 )  /  6 )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9270, 91eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9392breq1d 3939 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A )  <->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
) ) )
9421, 69npcand 8084 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  A )
9594breq2d 3941 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <->  ( sin `  A )  <  A
) )
9693, 95anbi12d 464 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) ) )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9768, 96bitrd 187 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9867, 97mpbid 146 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628   _ici 7629    + caddc 7630    x. cmul 7632   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   # cap 8350    / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   3c3 8779   4c4 8780   6c6 8782   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   (,]cioc 9679   ^cexp 10299   !cfa 10478   Imcim 10620   abscabs 10776   sum_csu 11129   sincsin 11357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363
This theorem is referenced by:  sin01gt0  11474  tangtx  12935  pigt3  12941
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