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Theorem sin01bnd 11800
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 8035 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 7987 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 9968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 1014 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2189 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76resin4p 11761 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  =  ( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2195 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( Im
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( sin `  A
) )
105resincld 11766 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
1110recnd 8017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 3nn0 9225 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
13 reexpcl 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  RR )
145, 12, 13sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  RR )
15 6nn 9115 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
16 nndivre 8986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  6
)  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  RR )
185, 17resubcld 8369 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  RR )
1918recnd 8017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  e.  CC )
20 ax-icn 7937 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
215recnd 8017 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
22 mulcl 7969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
24 4nn0 9226 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
256eftlcl 11731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2726imcld 10983 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2827recnd 8017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2911, 19, 28subaddd 8317 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  +  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( sin `  A
) ) )
309, 29mpbird 167 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
3130fveq2d 5538 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) ) )
3228abscld 11225 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3326abscld 11225 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
34 absimle 11128 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3526, 34syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 10571 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 24, 36sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 8986 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 15, 38sylancl 413 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 11799 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
4112a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  3  e.  NN0 )
42 4z 9314 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43 3re 9024 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
44 4re 9027 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
45 3lt4 9122 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
4643, 44, 45ltleii 8091 . . . . . . . . 9  |-  3  <_  4
47 3z 9313 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
4847eluz1i 9566 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4942, 46, 48mpbir2an 944 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
5049a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
514simp2bi 1015 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
52 0re 7988 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
53 ltle 8076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5452, 5, 53sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5551, 54mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
564simp3bi 1016 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
575, 41, 50, 55, 56leexp2rd 10718 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 ) )
58 6re 9031 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5958a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
60 6pos 9051 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6160a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
62 lediv1 8857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6337, 14, 59, 61, 62syl112anc 1253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 3 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 3 )  /  6 ) ) )
6457, 63mpbid 147 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )
6533, 39, 17, 40, 64ltletrd 8411 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )
6632, 33, 17, 35, 65lelttrd 8113 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Im `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6731, 66eqbrtrd 4040 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( sin `  A )  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )
6810, 18, 17absdifltd 11222 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) ) )
6917recnd 8017 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  e.  CC )
7021, 69, 69subsub4d 8330 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( ( A ^ 3 )  / 
6 )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) ) ) )
7114recnd 8017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
72 3cn 9025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
73 3ap0 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3 #  0
7472, 73pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  CC  /\  3 #  0 )
75 2cn 9021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
76 2ap0 9043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2 #  0
7775, 76pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
78 divdivap1 8711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3 #  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 )  =  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
8071, 79syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  3
)  /  2 )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
( 3  x.  2 ) ) )
81 3t2e6 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8281oveq2i 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 3 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
3 )  /  6
)
8380, 82eqtr2di 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  6 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  / 
2 ) )
8483, 83oveq12d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
) ) )
85 3nn 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
86 nndivre 8986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 3 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( A ^
3 )  /  3
)  e.  RR )
8714, 85, 86sylancl 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  RR )
8887recnd 8017 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
89882halvesd 9195 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A ^ 3 )  / 
3 )  /  2
)  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  3 )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9084, 89eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
3 )  /  6
)  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )
9190oveq2d 5913 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A  -  ( (
( A ^ 3 )  /  6 )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9270, 91eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  -  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  3
) ) )
9392breq1d 4028 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  <  ( sin `  A )  <->  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
) ) )
9421, 69npcand 8303 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  6 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  6 ) )  =  A )
9594breq2d 4030 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( sin `  A
)  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <->  ( sin `  A )  <  A
) )
9693, 95anbi12d 473 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  -  ( ( A ^
3 )  /  6
) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  6
) ) )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9768, 96bitrd 188 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( sin `  A
)  -  ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
6 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 3 )  /  6 )  <->  ( ( A  -  ( ( A ^ 3 )  / 
3 ) )  < 
( sin `  A
)  /\  ( sin `  A )  <  A
) ) )
9867, 97mpbid 147 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A  -  (
( A ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  < 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   _ici 7844    + caddc 7845    x. cmul 7847   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024    - cmin 8159   # cap 8569    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   3c3 9002   4c4 9003   6c6 9005   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   (,]cioc 9921   ^cexp 10553   !cfa 10740   Imcim 10885   abscabs 11041   sum_csu 11396   sincsin 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693
This theorem is referenced by:  sin01gt0  11804  tangtx  14736  pigt3  14742
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