Theorem eluz1i 9357

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		eluz1 9354	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  eluzaddi  9376  eluzsubi  9377  eluz2b1  9422  ef01bndlem  11499  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501  sin01gt0  11504