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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cos01bnd | Unicode version |
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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cos01bnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0xr 7595 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1re 7548 |
. . . . . . . . 9
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3 | elioc2 9415 |
. . . . . . . . 9
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4 | 1, 2, 3 | mp2an 418 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | simp1bi 959 |
. . . . . . 7
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6 | eqid 2089 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | recos4p 11071 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 7 | syl 14 |
. . . . . 6
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9 | 8 | eqcomd 2094 |
. . . . 5
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10 | 5 | recoscld 11076 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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12 | 5 | resqcld 10173 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | rehalfcld 8723 |
. . . . . . . 8
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14 | resubcl 7807 |
. . . . . . . 8
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15 | 2, 13, 14 | sylancr 406 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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17 | ax-icn 7501 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 5 | recnd 7577 |
. . . . . . . . . 10
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19 | mulcl 7530 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 18, 19 | sylancr 406 |
. . . . . . . . 9
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21 | 4nn0 8753 |
. . . . . . . . 9
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22 | 6 | eftlcl 11039 |
. . . . . . . . 9
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23 | 20, 21, 22 | sylancl 405 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | recld 10433 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | recnd 7577 |
. . . . . 6
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26 | 11, 16, 25 | subaddd 7872 |
. . . . 5
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27 | 9, 26 | mpbird 166 |
. . . 4
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28 | 27 | fveq2d 5322 |
. . 3
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29 | 25 | abscld 10675 |
. . . 4
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30 | 23 | abscld 10675 |
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31 | 6nn 8642 |
. . . . 5
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32 | nndivre 8519 |
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33 | 12, 31, 32 | sylancl 405 |
. . . 4
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34 | absrele 10577 |
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35 | 23, 34 | syl 14 |
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36 | reexpcl 10033 |
. . . . . . 7
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37 | 5, 21, 36 | sylancl 405 |
. . . . . 6
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38 | nndivre 8519 |
. . . . . 6
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39 | 37, 31, 38 | sylancl 405 |
. . . . 5
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40 | 6 | ef01bndlem 11108 |
. . . . 5
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41 | 2nn0 8751 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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43 | 4z 8841 |
. . . . . . . . 9
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44 | 2re 8553 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 4re 8560 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 2lt4 8650 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 44, 45, 46 | ltleii 7648 |
. . . . . . . . 9
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48 | 2z 8839 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | eluz1i 9087 |
. . . . . . . . 9
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50 | 43, 47, 49 | mpbir2an 889 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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52 | 4 | simp2bi 960 |
. . . . . . . 8
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53 | 0re 7549 |
. . . . . . . . 9
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54 | ltle 7633 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 5, 54 | sylancr 406 |
. . . . . . . 8
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56 | 52, 55 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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57 | 4 | simp3bi 961 |
. . . . . . 7
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58 | 5, 42, 51, 56, 57 | leexp2rd 10177 |
. . . . . 6
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59 | 6re 8564 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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61 | 6pos 8584 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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63 | lediv1 8391 |
. . . . . . 7
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64 | 37, 12, 60, 62, 63 | syl112anc 1179 |
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80 | 78, 79 | recclapi 8270 |
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81 | 6cn 8565 |
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84 | adddi 7535 |
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116 | 111, 114, 115 | 3eqtr4rd 2132 |
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117 | 116 | oveq2d 5682 |
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118 | 105, 117 | eqtr3d 2123 |
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119 | 118 | breq2d 3863 |
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120 | 104, 119 | anbi12d 458 |
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121 | 69, 120 | bitrd 187 |
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122 | 68, 121 | mpbid 146 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524 ax-arch 7525 ax-caucvg 7526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-isom 5037 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-frec 6170 df-1o 6195 df-oadd 6199 df-er 6306 df-en 6512 df-dom 6513 df-fin 6514 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-2 8542 df-3 8543 df-4 8544 df-5 8545 df-6 8546 df-7 8547 df-8 8548 df-n0 8735 df-z 8812 df-uz 9081 df-q 9166 df-rp 9196 df-ioc 9372 df-ico 9373 df-fz 9486 df-fzo 9615 df-iseq 9914 df-seq3 9915 df-exp 10016 df-fac 10195 df-ihash 10245 df-shft 10310 df-cj 10337 df-re 10338 df-im 10339 df-rsqrt 10492 df-abs 10493 df-clim 10728 df-isum 10804 df-ef 10999 df-cos 11002 |
This theorem is referenced by: cos1bnd 11111 cos01gt0 11114 |
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