Theorem cos01bnd 11940

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8090	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 8042	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 10028	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1014	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	recos4p 11901	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2202	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) )
10	5	recoscld 11906	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8072	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
12	5	resqcld 10808	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
13	12	rehalfcld 9255	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
14		resubcl 8307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
16	15	recnd 8072	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
17		ax-icn 7991	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
18	5	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
19		mulcl 8023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
21		4nn0 9285	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
22	6	eftlcl 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
24	23	recld 11120	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
25	24	recnd 8072	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
26	11, 16, 25	subaddd 8372	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
28	27	fveq2d 5565	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
29	25	abscld 11363	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
30	23	abscld 11363	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
31		6nn 9173	. . . . 5 |- 6 e. NN
32		nndivre 9043	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
33	12, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
34		absrele 11265	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	23, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10665	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 21, 36	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 9043	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 31, 38	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 11938	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41		2nn0 9283	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 2 e. NN0 )
43		4z 9373	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		2re 9077	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
45		4re 9084	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		2lt4 9181	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8146	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 4
48		2z 9371	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
49	48	eluz1i 9625	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 944	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	4	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 8043	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 8131	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1016	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 10812	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) )
59		6re 9088	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 9108	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 8913	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8467	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8168	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
68	28, 67	eqbrtrd 4056	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
69	10, 15, 33	absdifltd 11360	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) ) )
70		1cnd 8059	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 1 e. CC )
71	13	recnd 8072	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
72	33	recnd 8072	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
73	70, 71, 72	subsub4d 8385	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) )
74		halfpm6th 9228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 ) )
75	74	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 )
76	75	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) )
77	12	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78		2cn 9078	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
79		2ap0 9100	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
80	78, 79	recclapi 8786	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
81		6cn 9089	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
82	31	nnap0i 9038	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 # 0
83	81, 82	recclapi 8786	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 6 ) e. CC
84		adddi 8028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
85	80, 83, 84	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
87	76, 86	eqtr3id 2243	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
88		3cn 9082	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
89		3ap0 9103	. . . . . . . . . . 11 |- 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
91		div12ap 8738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
92	78, 90, 91	mp3an13 1339	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
94		divrecap 8732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
95	78, 79, 94	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
97		divrecap 8732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
98	81, 82, 97	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
100	96, 99	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
102	101	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
103	73, 102	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
104	103	breq1d 4044	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) <-> ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) ) )
105	70, 71, 72	subsubd 8382	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
106	74	simpli 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
107	106	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) )
108		subdi 8428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
109	80, 83, 108	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
111	107, 110	eqtr3id 2243	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
112		divrecap 8732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
113	88, 89, 112	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
115	96, 99	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 2 ) / 3 ) )
117	116	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
118	105, 117	eqtr3d 2231	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
119	118	breq2d 4046	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) <-> ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
120	104, 119	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
121	69, 120	bitrd 188	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
122	68, 121	mpbid 147	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   _ici 7898   + caddc 7899   x. cmul 7901   RR*cxr 8077   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   3c3 9059   4c4 9060   6c6 9062   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   (,]cioc 9981   ^cexp 10647   !cfa 10834   Recre 11022   abscabs 11179   sum_csu 11535   cosccos 11827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-cos 11833

This theorem is referenced by:  cos1bnd  11941  cos01gt0  11945  tangtx  15158