Theorem cos01bnd 11988

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8101	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 8053	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 10040	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1014	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2204	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	recos4p 11949	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2210	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) )
10	5	recoscld 11954	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8083	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
12	5	resqcld 10825	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
13	12	rehalfcld 9266	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
14		resubcl 8318	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
16	15	recnd 8083	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
17		ax-icn 8002	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
18	5	recnd 8083	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
19		mulcl 8034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
21		4nn0 9296	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
22	6	eftlcl 11918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
24	23	recld 11168	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
25	24	recnd 8083	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
26	11, 16, 25	subaddd 8383	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
28	27	fveq2d 5574	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
29	25	abscld 11411	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
30	23	abscld 11411	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
31		6nn 9184	. . . . 5 |- 6 e. NN
32		nndivre 9054	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
33	12, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
34		absrele 11313	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	23, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10682	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 21, 36	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 9054	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 31, 38	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 11986	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41		2nn0 9294	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 2 e. NN0 )
43		4z 9384	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		2re 9088	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
45		4re 9095	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		2lt4 9192	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8157	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 4
48		2z 9382	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
49	48	eluz1i 9637	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 944	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	4	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 8054	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 8142	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1016	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 10829	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) )
59		6re 9099	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 9119	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 8924	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8478	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8179	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
68	28, 67	eqbrtrd 4065	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
69	10, 15, 33	absdifltd 11408	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) ) )
70		1cnd 8070	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 1 e. CC )
71	13	recnd 8083	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
72	33	recnd 8083	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
73	70, 71, 72	subsub4d 8396	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) )
74		halfpm6th 9239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 ) )
75	74	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 )
76	75	oveq2i 5945	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) )
77	12	recnd 8083	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78		2cn 9089	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
79		2ap0 9111	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
80	78, 79	recclapi 8797	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
81		6cn 9100	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
82	31	nnap0i 9049	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 # 0
83	81, 82	recclapi 8797	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 6 ) e. CC
84		adddi 8039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
85	80, 83, 84	mp3an23 1341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
87	76, 86	eqtr3id 2251	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
88		3cn 9093	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
89		3ap0 9114	. . . . . . . . . . 11 |- 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
91		div12ap 8749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
92	78, 90, 91	mp3an13 1340	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
94		divrecap 8743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
95	78, 79, 94	mp3an23 1341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
97		divrecap 8743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
98	81, 82, 97	mp3an23 1341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
100	96, 99	oveq12d 5952	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2248	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
102	101	oveq2d 5950	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
103	73, 102	eqtrd 2237	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
104	103	breq1d 4053	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) <-> ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) ) )
105	70, 71, 72	subsubd 8393	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
106	74	simpli 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
107	106	oveq2i 5945	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) )
108		subdi 8439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
109	80, 83, 108	mp3an23 1341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
111	107, 110	eqtr3id 2251	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
112		divrecap 8743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
113	88, 89, 112	mp3an23 1341	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
115	96, 99	oveq12d 5952	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2248	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 2 ) / 3 ) )
117	116	oveq2d 5950	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
118	105, 117	eqtr3d 2239	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
119	118	breq2d 4055	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) <-> ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
120	104, 119	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
121	69, 120	bitrd 188	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
122	68, 121	mpbid 147	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   CCcc 7905   RRcr 7906   0cc0 7907   1c1 7908   _ici 7909   + caddc 7910   x. cmul 7912   RR*cxr 8088   < clt 8089   <_ cle 8090   - cmin 8225   # cap 8636   / cdiv 8727   NNcn 9018   2c2 9069   3c3 9070   4c4 9071   6c6 9073   NN0cn0 9277   ZZcz 9354   ZZ>=cuz 9630   (,]cioc 9993   ^cexp 10664   !cfa 10851   Recre 11070   abscabs 11227   sum_csu 11583   cosccos 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-ioc 9997  df-ico 9998  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-fac 10852  df-ihash 10902  df-shft 11045  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584  df-ef 11878  df-cos 11881

This theorem is referenced by:  cos1bnd  11989  cos01gt0  11993  tangtx  15228