Theorem cos01bnd 11699

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7945	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 7898	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 9872	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1002	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	recos4p 11660	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2171	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) )
10	5	recoscld 11665	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. RR )
11	10	recnd 7927	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
12	5	resqcld 10614	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
13	12	rehalfcld 9103	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
14		resubcl 8162	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
15	2, 13, 14	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
16	15	recnd 7927	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
17		ax-icn 7848	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
18	5	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
19		mulcl 7880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
21		4nn0 9133	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
22	6	eftlcl 11629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancl 410	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
24	23	recld 10880	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
25	24	recnd 7927	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
26	11, 16, 25	subaddd 8227	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) ) )
27	9, 26	mpbird 166	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
28	27	fveq2d 5490	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
29	25	abscld 11123	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
30	23	abscld 11123	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
31		6nn 9022	. . . . 5 |- 6 e. NN
32		nndivre 8893	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
33	12, 31, 32	sylancl 410	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
34		absrele 11025	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	23, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 21, 36	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 8893	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 31, 38	sylancl 410	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 11697	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41		2nn0 9131	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 2 e. NN0 )
43		4z 9221	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		2re 8927	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
45		4re 8934	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		2lt4 9030	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8001	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 4
48		2z 9219	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
49	48	eluz1i 9473	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 932	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	4	simp2bi 1003	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 7899	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 7986	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1004	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 10618	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) )
59		6re 8938	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 8958	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 8764	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 146	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8321	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8023	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
68	28, 67	eqbrtrd 4004	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
69	10, 15, 33	absdifltd 11120	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) ) )
70		1cnd 7915	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 1 e. CC )
71	13	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
72	33	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
73	70, 71, 72	subsub4d 8240	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) )
74		halfpm6th 9077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 ) )
75	74	simpri 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 )
76	75	oveq2i 5853	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) )
77	12	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78		2cn 8928	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
79		2ap0 8950	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
80	78, 79	recclapi 8638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
81		6cn 8939	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
82	31	nnap0i 8888	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 # 0
83	81, 82	recclapi 8638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 6 ) e. CC
84		adddi 7885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
85	80, 83, 84	mp3an23 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
87	76, 86	eqtr3id 2213	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
88		3cn 8932	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
89		3ap0 8953	. . . . . . . . . . 11 |- 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 270	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
91		div12ap 8590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
92	78, 90, 91	mp3an13 1318	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
94		divrecap 8584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
95	78, 79, 94	mp3an23 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
97		divrecap 8584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
98	81, 82, 97	mp3an23 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
100	96, 99	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2209	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
102	101	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
103	73, 102	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
104	103	breq1d 3992	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) <-> ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) ) )
105	70, 71, 72	subsubd 8237	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
106	74	simpli 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
107	106	oveq2i 5853	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) )
108		subdi 8283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
109	80, 83, 108	mp3an23 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
111	107, 110	eqtr3id 2213	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
112		divrecap 8584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
113	88, 89, 112	mp3an23 1319	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
115	96, 99	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2209	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 2 ) / 3 ) )
117	116	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
118	105, 117	eqtr3d 2200	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
119	118	breq2d 3994	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) <-> ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
120	104, 119	anbi12d 465	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
121	69, 120	bitrd 187	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
122	68, 121	mpbid 146	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   3c3 8909   4c4 8910   6c6 8912   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   (,]cioc 9825   ^cexp 10454   !cfa 10638   Recre 10782   abscabs 10939   sum_csu 11294   cosccos 11586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-cos 11592

This theorem is referenced by:  cos1bnd  11700  cos01gt0  11703  tangtx  13399