Theorem cos01bnd 12382

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8268	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 8221	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 10215	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1039	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	recos4p 12343	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) )
10	5	recoscld 12348	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8250	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
12	5	resqcld 11007	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
13	12	rehalfcld 9433	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
14		resubcl 8485	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
16	15	recnd 8250	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
17		ax-icn 8170	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
18	5	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
19		mulcl 8202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
21		4nn0 9463	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
22	6	eftlcl 12312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
24	23	recld 11561	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
25	24	recnd 8250	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
26	11, 16, 25	subaddd 8550	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
28	27	fveq2d 5652	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
29	25	abscld 11804	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
30	23	abscld 11804	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
31		6nn 9351	. . . . 5 |- 6 e. NN
32		nndivre 9221	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
33	12, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
34		absrele 11706	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	23, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10864	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 21, 36	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 9221	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 31, 38	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 12380	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41		2nn0 9461	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 2 e. NN0 )
43		4z 9553	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		2re 9255	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
45		4re 9262	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		2lt4 9359	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8324	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 4
48		2z 9551	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
49	48	eluz1i 9807	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 951	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	4	simp2bi 1040	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 8222	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 8309	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1041	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 11011	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) )
59		6re 9266	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 9286	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 9091	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1278	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8645	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8346	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
68	28, 67	eqbrtrd 4115	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
69	10, 15, 33	absdifltd 11801	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) ) )
70		1cnd 8238	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 1 e. CC )
71	13	recnd 8250	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
72	33	recnd 8250	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
73	70, 71, 72	subsub4d 8563	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) )
74		halfpm6th 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 ) )
75	74	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 )
76	75	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) )
77	12	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78		2cn 9256	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
79		2ap0 9278	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
80	78, 79	recclapi 8964	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
81		6cn 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
82	31	nnap0i 9216	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 # 0
83	81, 82	recclapi 8964	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 6 ) e. CC
84		adddi 8207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
85	80, 83, 84	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
87	76, 86	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
88		3cn 9260	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
89		3ap0 9281	. . . . . . . . . . 11 |- 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
91		div12ap 8916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
92	78, 90, 91	mp3an13 1365	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
94		divrecap 8910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
95	78, 79, 94	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
97		divrecap 8910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
98	81, 82, 97	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
100	96, 99	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
102	101	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
103	73, 102	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
104	103	breq1d 4103	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) <-> ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) ) )
105	70, 71, 72	subsubd 8560	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
106	74	simpli 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
107	106	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) )
108		subdi 8606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
109	80, 83, 108	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
111	107, 110	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
112		divrecap 8910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
113	88, 89, 112	mp3an23 1366	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
115	96, 99	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 2 ) / 3 ) )
117	116	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
118	105, 117	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
119	118	breq2d 4105	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) <-> ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
120	104, 119	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
121	69, 120	bitrd 188	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
122	68, 121	mpbid 147	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   _ici 8077   + caddc 8078   x. cmul 8080   RR*cxr 8255   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   # cap 8803   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   3c3 9237   4c4 9238   6c6 9240   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   (,]cioc 10168   ^cexp 10846   !cfa 11033   Recre 11463   abscabs 11620   sum_csu 11976   cosccos 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-cos 12275

This theorem is referenced by:  cos1bnd  12383  cos01gt0  12387  tangtx  15632