Theorem cos01bnd 12284

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8204	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
2		1re 8156	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		elioc2 10144	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
5	4	simp1bi 1036	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
6		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	recos4p 12245	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
9	8	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) )
10	5	recoscld 12250	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
12	5	resqcld 10933	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
13	12	rehalfcld 9369	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
14		resubcl 8421	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
16	15	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
17		ax-icn 8105	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
18	5	recnd 8186	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
19		mulcl 8137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
21		4nn0 9399	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
22	6	eftlcl 12214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC )
24	23	recld 11464	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
25	24	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. CC )
26	11, 16, 25	subaddd 8486	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <-> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) = ( cos ` A ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
28	27	fveq2d 5633	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) )
29	25	abscld 11707	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) e. RR )
30	23	abscld 11707	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) e. RR )
31		6nn 9287	. . . . 5 |- 6 e. NN
32		nndivre 9157	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
33	12, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
34		absrele 11609	. . . . 5 |- ( sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
35	23, 34	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) )
36		reexpcl 10790	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
37	5, 21, 36	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
38		nndivre 9157	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
39	37, 31, 38	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
40	6	ef01bndlem 12282	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
41		2nn0 9397	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 2 e. NN0 )
43		4z 9487	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
44		2re 9191	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
45		4re 9198	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
46		2lt4 9295	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8260	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 4
48		2z 9485	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
49	48	eluz1i 9741	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
50	43, 47, 49	mpbir2an 948	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	4	simp2bi 1037	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
53		0re 8157	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
54		ltle 8245	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
55	53, 5, 54	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 <_ A )
57	4	simp3bi 1038	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 10937	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) )
59		6re 9202	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 6 e. RR )
61		6pos 9222	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < 6 )
63		lediv1 9027	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( A ^ 2 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1275	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) <_ ( A ^ 2 ) <-> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
65	58, 64	mpbid 147	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) <_ ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8581	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8282	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( Re ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
68	28, 67	eqbrtrd 4105	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) )
69	10, 15, 33	absdifltd 11704	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) ) )
70		1cnd 8173	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 1 e. CC )
71	13	recnd 8186	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
72	33	recnd 8186	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
73	70, 71, 72	subsub4d 8499	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) )
74		halfpm6th 9342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) /\ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 ) )
75	74	simpri 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) = ( 2 / 3 )
76	75	oveq2i 6018	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) )
77	12	recnd 8186	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
78		2cn 9192	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
79		2ap0 9214	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
80	78, 79	recclapi 8900	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
81		6cn 9203	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
82	31	nnap0i 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 # 0
83	81, 82	recclapi 8900	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 6 ) e. CC
84		adddi 8142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
85	80, 83, 84	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
87	76, 86	eqtr3id 2276	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
88		3cn 9196	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
89		3ap0 9217	. . . . . . . . . . 11 |- 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
91		div12ap 8852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
92	78, 90, 91	mp3an13 1362	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 2 / 3 ) ) )
94		divrecap 8846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
95	78, 79, 94	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 2 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
97		divrecap 8846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
98	81, 82, 97	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 6 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
100	96, 99	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
102	101	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
103	73, 102	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
104	103	breq1d 4093	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) <-> ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) ) )
105	70, 71, 72	subsubd 8496	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) )
106	74	simpli 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
107	106	oveq2i 6018	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) )
108		subdi 8542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
109	80, 83, 108	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
111	107, 110	eqtr3id 2276	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
112		divrecap 8846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 # 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
113	88, 89, 112	mp3an23 1363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ^ 2 ) e. CC -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 2 ) / 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) )
115	96, 99	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( ( A ^ 2 ) / 3 ) )
117	116	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 - ( ( ( A ^ 2 ) / 2 ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
118	105, 117	eqtr3d 2264	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) = ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) )
119	118	breq2d 4095	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) <-> ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )
120	104, 119	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 2 ) / 6 ) ) ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
121	69, 120	bitrd 188	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( ( cos ` A ) - ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) < ( ( A ^ 2 ) / 6 ) <-> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) ) )
122	68, 121	mpbid 147	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( 1 - ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < ( 1 - ( ( A ^ 2 ) / 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   _ici 8012   + caddc 8013   x. cmul 8015   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   3c3 9173   4c4 9174   6c6 9176   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   (,]cioc 10097   ^cexp 10772   !cfa 10959   Recre 11366   abscabs 11523   sum_csu 11879   cosccos 12171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-ihash 11010  df-shft 11341  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-cos 12177

This theorem is referenced by:  cos1bnd  12285  cos01gt0  12289  tangtx  15527