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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cos01bnd | Unicode version |
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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cos01bnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0xr 7836 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1re 7789 |
. . . . . . . . 9
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3 | elioc2 9749 |
. . . . . . . . 9
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4 | 1, 2, 3 | mp2an 423 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | simp1bi 997 |
. . . . . . 7
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6 | eqid 2140 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | recos4p 11462 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 7 | syl 14 |
. . . . . 6
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9 | 8 | eqcomd 2146 |
. . . . 5
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10 | 5 | recoscld 11467 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | recnd 7818 |
. . . . . 6
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12 | 5 | resqcld 10481 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | rehalfcld 8990 |
. . . . . . . 8
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14 | resubcl 8050 |
. . . . . . . 8
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15 | 2, 13, 14 | sylancr 411 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | recnd 7818 |
. . . . . 6
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17 | ax-icn 7739 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 5 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . 10
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19 | mulcl 7771 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 18, 19 | sylancr 411 |
. . . . . . . . 9
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21 | 4nn0 9020 |
. . . . . . . . 9
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22 | 6 | eftlcl 11431 |
. . . . . . . . 9
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23 | 20, 21, 22 | sylancl 410 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | recld 10742 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | recnd 7818 |
. . . . . 6
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26 | 11, 16, 25 | subaddd 8115 |
. . . . 5
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27 | 9, 26 | mpbird 166 |
. . . 4
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28 | 27 | fveq2d 5433 |
. . 3
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29 | 25 | abscld 10985 |
. . . 4
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30 | 23 | abscld 10985 |
. . . 4
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31 | 6nn 8909 |
. . . . 5
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32 | nndivre 8780 |
. . . . 5
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33 | 12, 31, 32 | sylancl 410 |
. . . 4
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34 | absrele 10887 |
. . . . 5
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35 | 23, 34 | syl 14 |
. . . 4
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36 | reexpcl 10341 |
. . . . . . 7
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37 | 5, 21, 36 | sylancl 410 |
. . . . . 6
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38 | nndivre 8780 |
. . . . . 6
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39 | 37, 31, 38 | sylancl 410 |
. . . . 5
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40 | 6 | ef01bndlem 11499 |
. . . . 5
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41 | 2nn0 9018 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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43 | 4z 9108 |
. . . . . . . . 9
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44 | 2re 8814 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 4re 8821 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 2lt4 8917 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 44, 45, 46 | ltleii 7890 |
. . . . . . . . 9
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48 | 2z 9106 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | eluz1i 9357 |
. . . . . . . . 9
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50 | 43, 47, 49 | mpbir2an 927 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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52 | 4 | simp2bi 998 |
. . . . . . . 8
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53 | 0re 7790 |
. . . . . . . . 9
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54 | ltle 7875 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 5, 54 | sylancr 411 |
. . . . . . . 8
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56 | 52, 55 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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57 | 4 | simp3bi 999 |
. . . . . . 7
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58 | 5, 42, 51, 56, 57 | leexp2rd 10485 |
. . . . . 6
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59 | 6re 8825 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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61 | 6pos 8845 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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63 | lediv1 8651 |
. . . . . . 7
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64 | 37, 12, 60, 62, 63 | syl112anc 1221 |
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67 | 29, 30, 33, 35, 66 | lelttrd 7911 |
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69 | 10, 15, 33 | absdifltd 10982 |
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73 | 70, 71, 72 | subsub4d 8128 |
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80 | 78, 79 | recclapi 8526 |
. . . . . . . . . . 11
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81 | 6cn 8826 |
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82 | 31 | nnap0i 8775 |
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83 | 81, 82 | recclapi 8526 |
. . . . . . . . . . 11
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84 | adddi 7776 |
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85 | 80, 83, 84 | mp3an23 1308 |
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87 | 76, 86 | syl5eqr 2187 |
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89 | 3ap0 8840 |
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90 | 88, 89 | pm3.2i 270 |
. . . . . . . . . 10
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91 | div12ap 8478 |
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92 | 78, 90, 91 | mp3an13 1307 |
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95 | 78, 79, 94 | mp3an23 1308 |
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98 | 81, 82, 97 | mp3an23 1308 |
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99 | 77, 98 | syl 14 |
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101 | 87, 93, 100 | 3eqtr4rd 2184 |
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102 | 101 | oveq2d 5798 |
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103 | 73, 102 | eqtrd 2173 |
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105 | 70, 71, 72 | subsubd 8125 |
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111 | 107, 110 | syl5eqr 2187 |
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116 | 111, 114, 115 | 3eqtr4rd 2184 |
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117 | 116 | oveq2d 5798 |
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118 | 105, 117 | eqtr3d 2175 |
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119 | 118 | breq2d 3949 |
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120 | 104, 119 | anbi12d 465 |
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121 | 69, 120 | bitrd 187 |
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122 | 68, 121 | mpbid 146 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-5 8806 df-6 8807 df-7 8808 df-8 8809 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-ioc 9706 df-ico 9707 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-ihash 10554 df-shft 10619 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 df-ef 11391 df-cos 11394 |
This theorem is referenced by: cos1bnd 11502 cos01gt0 11505 tangtx 12967 |
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