Theorem fz0to4untppr 10055

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	|- ( 0 ... 4 ) = ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } )

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8913	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
2		2cn 8924	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
3	2	addid2i 8037	. . . . . . 7 |- ( 0 + 2 ) = 2
4	3	eqcomi 2169	. . . . . 6 |- 2 = ( 0 + 2 )
5	4	oveq1i 5851	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 0 + 2 ) + 1 )
6	1, 5	eqtri 2186	. . . 4 |- 3 = ( ( 0 + 2 ) + 1 )
7		3z 9216	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
8		0re 7895	. . . . . 6 |- 0 e. RR
9		3re 8927	. . . . . 6 |- 3 e. RR
10		3pos 8947	. . . . . 6 |- 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 7997	. . . . 5 |- 0 <_ 3
12		0z 9198	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
13	12	eluz1i 9469	. . . . 5 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 0 <_ 3 ) )
14	7, 11, 13	mpbir2an 932	. . . 4 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
15	6, 14	eqeltrri 2239	. . 3 |- ( ( 0 + 2 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 )
16		4z 9217	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
17		2re 8923	. . . . . 6 |- 2 e. RR
18		4re 8930	. . . . . 6 |- 4 e. RR
19		2lt4 9026	. . . . . 6 |- 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 7997	. . . . 5 |- 2 <_ 4
21		2z 9215	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
22	21	eluz1i 9469	. . . . 5 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
23	16, 20, 22	mpbir2an 932	. . . 4 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
24	4	fveq2i 5488	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 2 ) )
25	23, 24	eleqtri 2240	. . 3 |- 4 e. ( ZZ>= ` ( 0 + 2 ) )
26		fzsplit2 9981	. . 3 |- ( ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 4 e. ( ZZ>= ` ( 0 + 2 ) ) ) -> ( 0 ... 4 ) = ( ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) u. ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) ) )
27	15, 25, 26	mp2an 423	. 2 |- ( 0 ... 4 ) = ( ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) u. ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) )
28		fztp 10009	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) }
30		ax-1cn 7842	. . . . 5 |- 1 e. CC
31		eqidd 2166	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> 0 = 0 )
32		addid2 8033	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( 0 + 1 ) = 1 )
33	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( 1 e. CC -> ( 0 + 2 ) = 2 )
34	31, 32, 33	tpeq123d 3667	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 }
36	29, 35	eqtri 2186	. . 3 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 }
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 0 + 2 ) = 2 )
38	37	oveq1d 5856	. . . . . . 7 |- ( 3 e. ZZ -> ( ( 0 + 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
39	38, 1	eqtr4di 2216	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( ( 0 + 2 ) + 1 ) = 3 )
40	39	oveq1d 5856	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) = ( 3 ... 4 ) )
41		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- 3 = 3
42		df-4 8914	. . . . . . . . . 10 |- 4 = ( 3 + 1 )
43	41, 42	pm3.2i 270	. . . . . . . . 9 |- ( 3 = 3 /\ 4 = ( 3 + 1 ) )
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 = 3 /\ 4 = ( 3 + 1 ) ) )
45		3lt4 9025	. . . . . . . . . . 11 |- 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 7997	. . . . . . . . . 10 |- 3 <_ 4
47	7	eluz1i 9469	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
48	16, 46, 47	mpbir2an 932	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
49		fzopth 9992	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 3 ... 4 ) = ( 3 ... ( 3 + 1 ) ) <-> ( 3 = 3 /\ 4 = ( 3 + 1 ) ) ) )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 ... 4 ) = ( 3 ... ( 3 + 1 ) ) <-> ( 3 = 3 /\ 4 = ( 3 + 1 ) ) )
51	44, 50	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 ... 4 ) = ( 3 ... ( 3 + 1 ) ) )
52		fzpr 10008	. . . . . . 7 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 ... ( 3 + 1 ) ) = { 3 , ( 3 + 1 ) } )
53	51, 52	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 ... 4 ) = { 3 , ( 3 + 1 ) } )
54	42	eqcomi 2169	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
55	54	preq2i 3656	. . . . . 6 |- { 3 , ( 3 + 1 ) } = { 3 , 4 }
56	53, 55	eqtrdi 2214	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 ... 4 ) = { 3 , 4 } )
57	40, 56	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) = { 3 , 4 } )
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) = { 3 , 4 }
59	36, 58	uneq12i 3273	. 2 |- ( ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) u. ( ( ( 0 + 2 ) + 1 ) ... 4 ) ) = ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } )
60	27, 59	eqtri 2186	1 |- ( 0 ... 4 ) = ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 } )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3113   {cpr 3576   {ctp 3577   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   <_ cle 7930   2c2 8904   3c3 8905   4c4 8906   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462   ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-tp 3583  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12191