ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Unicode version

Theorem fz0to4untppr 10124
Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 8979 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2 2cn 8990 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
32addid2i 8100 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
43eqcomi 2181 . . . . . 6  |-  2  =  ( 0  +  2 )
54oveq1i 5885 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
61, 5eqtri 2198 . . . 4  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
7 3z 9282 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
8 0re 7957 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
9 3re 8993 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
10 3pos 9013 . . . . . 6  |-  0  <  3
118, 9, 10ltleii 8060 . . . . 5  |-  0  <_  3
12 0z 9264 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
1312eluz1i 9535 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
147, 11, 13mpbir2an 942 . . . 4  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
156, 14eqeltrri 2251 . . 3  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
16 4z 9283 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
17 2re 8989 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
18 4re 8996 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
19 2lt4 9092 . . . . . 6  |-  2  <  4
2017, 18, 19ltleii 8060 . . . . 5  |-  2  <_  4
21 2z 9281 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
2221eluz1i 9535 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2316, 20, 22mpbir2an 942 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
244fveq2i 5519 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2523, 24eleqtri 2252 . . 3  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
26 fzsplit2 10050 . . 3  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2715, 25, 26mp2an 426 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
28 fztp 10078 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
2912, 28ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
30 ax-1cn 7904 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31 eqidd 2178 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
32 addlid 8096 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
333a1i 9 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3431, 32, 33tpeq123d 3685 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3530, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3629, 35eqtri 2198 . . 3  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
373a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3837oveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
3938, 1eqtr4di 2228 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4039oveq1d 5890 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
41 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  3
42 df-4 8980 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4341, 42pm3.2i 272 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4443a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
45 3lt4 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <  4
469, 18, 45ltleii 8060 . . . . . . . . . 10  |-  3  <_  4
477eluz1i 9535 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4816, 46, 47mpbir2an 942 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
49 fzopth 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5144, 50sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
52 fzpr 10077 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5351, 52eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5442eqcomi 2181 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5554preq2i 3674 . . . . . 6  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5653, 55eqtrdi 2226 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5740, 56eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
587, 57ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
5936, 58uneq12i 3288 . 2  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6027, 59eqtri 2198 1  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3128   {cpr 3594   {ctp 3595   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812    + caddc 7814    <_ cle 7993   2c2 8970   3c3 8971   4c4 8972   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ...cfz 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009
This theorem is referenced by:  prm23lt5  12263
  Copyright terms: Public domain W3C validator