Theorem eluzuzle 9495

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	|- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9493	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
2		simpll 524	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. ZZ )
3		simpr2 999	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ZZ )
4		zre 9216	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. RR )
6		zre 9216	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
7	6	3ad2ant1 1013	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> A e. RR )
8	7	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A e. RR )
9		zre 9216	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
10	9	3ad2ant2 1014	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. RR )
11	10	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. RR )
12		simplr 525	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ A )
13		simpr3 1000	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A <_ C )
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8043	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ C )
15		eluz2 9493	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1176	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
17	16	ex 114	. 2 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	1, 17	syl5bi 151	1 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198   RRcr 7773   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  eluz2nn  9525  eluz4eluz2  9526  uzuzle23  9530  eluzge3nn  9531