Theorem eluzuzle 9862

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	|- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9859	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
2		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. ZZ )
3		simpr2 1031	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ZZ )
4		zre 9581	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. RR )
6		zre 9581	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
7	6	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> A e. RR )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A e. RR )
9		zre 9581	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
10	9	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. RR )
12		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ A )
13		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A <_ C )
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8397	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ C )
15		eluz2 9859	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1208	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
17	16	ex 115	. 2 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	1, 17	biimtrid 152	1 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   RRcr 8126   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltwlin 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  uzuzle23  9894  uzuzle24  9895  uzuzle34  9896  eluz2nn  9898  eluz4eluz2  9900  eluzge3nn  9904