ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Unicode version

Theorem eluzuzle 9283
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( C  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 9281 . 2  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
2 simpll 501 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  e.  ZZ )
3 simpr2 971 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  ZZ )
4 zre 9009 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
54ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  e.  RR )
6 zre 9009 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
763ad2ant1 985 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  A  e.  RR )
87adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  A  e.  RR )
9 zre 9009 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
1093ad2ant2 986 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  C  e.  RR )
1110adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
12 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  <_  A
)
13 simpr3 972 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  A  <_  C
)
145, 8, 11, 12, 13letrd 7850 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  <_  C
)
15 eluz2 9281 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  <_  C ) )
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1148 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
1716ex 114 . 2  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B )
) )
181, 17syl5bi 151 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( C  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091   RRcr 7583    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltwlin 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-neg 7900  df-z 9006  df-uz 9276
This theorem is referenced by:  eluz2nn  9313  uzuzle23  9315  eluzge3nn  9316
  Copyright terms: Public domain W3C validator