Theorem eluzuzle 9930

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	|- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9927	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
2		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. ZZ )
3		simpr2 1035	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ZZ )
4		zre 9648	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. RR )
6		zre 9648	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
7	6	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> A e. RR )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A e. RR )
9		zre 9648	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
10	9	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. RR )
12		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ A )
13		simpr3 1036	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A <_ C )
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8450	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ C )
15		eluz2 9927	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1212	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
17	16	ex 115	. 2 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	1, 17	biimtrid 152	1 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   RRcr 8178   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  uzuzle23  9962  uzuzle24  9963  uzuzle34  9964  eluz2nn  9966  eluz4eluz2  9968  eluzge3nn  9972