Theorem eluzuzle 9763

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	|- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9760	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
2		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. ZZ )
3		simpr2 1030	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ZZ )
4		zre 9482	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. RR )
6		zre 9482	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
7	6	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> A e. RR )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A e. RR )
9		zre 9482	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
10	9	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. RR )
12		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ A )
13		simpr3 1031	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A <_ C )
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8302	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ C )
15		eluz2 9760	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1207	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
17	16	ex 115	. 2 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	1, 17	biimtrid 152	1 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   RRcr 8030   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltwlin 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  uzuzle23  9795  uzuzle24  9796  uzuzle34  9797  eluz2nn  9799  eluz4eluz2  9801  eluzge3nn  9805