Theorem eluzaddi 9345

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	|- M e. ZZ
eluzaddi.2	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9328	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzaddi.2	. . 3 |- K e. ZZ
3		zaddcl 9087	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 409	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5		eluzaddi.1	. . . 4 |- M e. ZZ
6	5	eluz1i 9326	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7		zre 9051	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	5	zrei 9053	. . . . . 6 |- M e. RR
9	2	zrei 9053	. . . . . 6 |- K e. RR
10		leadd1 8185	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11	8, 9, 10	mp3an13 1306	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13	12	biimpa 294	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14	6, 13	sylbi 120	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15		zaddcl 9087	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16	5, 2, 15	mp2an 422	. . 3 |- ( M + K ) e. ZZ
17	16	eluz1i 9326	. 2 |- ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 14, 17	sylanbrc 413	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   + caddc 7616   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by: (None)