Theorem eluzaddi 9527

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	|- M e. ZZ
eluzaddi.2	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9510	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzaddi.2	. . 3 |- K e. ZZ
3		zaddcl 9266	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5		eluzaddi.1	. . . 4 |- M e. ZZ
6	5	eluz1i 9508	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7		zre 9230	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	5	zrei 9232	. . . . . 6 |- M e. RR
9	2	zrei 9232	. . . . . 6 |- K e. RR
10		leadd1 8361	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11	8, 9, 10	mp3an13 1328	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13	12	biimpa 296	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14	6, 13	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15		zaddcl 9266	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16	5, 2, 15	mp2an 426	. . 3 |- ( M + K ) e. ZZ
17	16	eluz1i 9508	. 2 |- ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 14, 17	sylanbrc 417	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   + caddc 7789   <_ cle 7967   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502

This theorem is referenced by: (None)