Theorem eluzaddi 9376

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	|- M e. ZZ
eluzaddi.2	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9359	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzaddi.2	. . 3 |- K e. ZZ
3		zaddcl 9118	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 410	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5		eluzaddi.1	. . . 4 |- M e. ZZ
6	5	eluz1i 9357	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7		zre 9082	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	5	zrei 9084	. . . . . 6 |- M e. RR
9	2	zrei 9084	. . . . . 6 |- K e. RR
10		leadd1 8216	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11	8, 9, 10	mp3an13 1307	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13	12	biimpa 294	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14	6, 13	sylbi 120	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15		zaddcl 9118	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16	5, 2, 15	mp2an 423	. . 3 |- ( M + K ) e. ZZ
17	16	eluz1i 9357	. 2 |- ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 14, 17	sylanbrc 414	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   + caddc 7647   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by: (None)