Theorem eluzaddi 9549

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	|- M e. ZZ
eluzaddi.2	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9532	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzaddi.2	. . 3 |- K e. ZZ
3		zaddcl 9288	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5		eluzaddi.1	. . . 4 |- M e. ZZ
6	5	eluz1i 9530	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7		zre 9252	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	5	zrei 9254	. . . . . 6 |- M e. RR
9	2	zrei 9254	. . . . . 6 |- K e. RR
10		leadd1 8382	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11	8, 9, 10	mp3an13 1328	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13	12	biimpa 296	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14	6, 13	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15		zaddcl 9288	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16	5, 2, 15	mp2an 426	. . 3 |- ( M + K ) e. ZZ
17	16	eluz1i 9530	. 2 |- ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 14, 17	sylanbrc 417	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   RRcr 7806   + caddc 7810   <_ cle 7988   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524

This theorem is referenced by: (None)