Theorem eluzaddi 9749

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	|- M e. ZZ
eluzaddi.2	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9731	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzaddi.2	. . 3 |- K e. ZZ
3		zaddcl 9486	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ZZ )
5		eluzaddi.1	. . . 4 |- M e. ZZ
6	5	eluz1i 9729	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7		zre 9450	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	5	zrei 9452	. . . . . 6 |- M e. RR
9	2	zrei 9452	. . . . . 6 |- K e. RR
10		leadd1 8577	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
11	8, 9, 10	mp3an13 1362	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M <_ N <-> ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
13	12	biimpa 296	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
14	6, 13	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + K ) <_ ( N + K ) )
15		zaddcl 9486	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
16	5, 2, 15	mp2an 426	. . 3 |- ( M + K ) e. ZZ
17	16	eluz1i 9729	. 2 |- ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( ( N + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 14, 17	sylanbrc 417	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RRcr 7998   + caddc 8002   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by: (None)