ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2b1 Unicode version

Theorem eluz2b1 9512
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b1
StepHypRef Expression
1 2z 9195 . . 3  |-  2  e.  ZZ
21eluz1i 9446 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
3 1z 9193 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 zltp1le 9221 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
53, 4mpan 421 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
6 df-2 8892 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
76breq1i 3972 . . . 4  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
85, 7bitr4di 197 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  2  <_  N ) )
98pm5.32i 450 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
102, 9bitr4i 186 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   1c1 7733    + caddc 7735    < clt 7912    <_ cle 7913   2c2 8884   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440
This theorem is referenced by:  eluz2gt1  9513  eluz2b2  9514  uz2m1nn  9516  uz2mulcl  9519  prmind2  11997  2prm  12004  3prm  12005  sqnprm  12013  exmidunben  12166
  Copyright terms: Public domain W3C validator