ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2b1 Unicode version

Theorem eluz2b1 9587
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b1
StepHypRef Expression
1 2z 9267 . . 3  |-  2  e.  ZZ
21eluz1i 9521 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
3 1z 9265 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 zltp1le 9293 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
53, 4mpan 424 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
6 df-2 8964 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
76breq1i 4007 . . . 4  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
85, 7bitr4di 198 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  2  <_  N ) )
98pm5.32i 454 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
102, 9bitr4i 187 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1c1 7800    + caddc 7802    < clt 7979    <_ cle 7980   2c2 8956   ZZcz 9239   ZZ>=cuz 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515
This theorem is referenced by:  eluz2gt1  9588  eluz2b2  9589  uz2m1nn  9591  uz2mulcl  9594  prmind2  12100  2prm  12107  3prm  12108  sqnprm  12116  isprm5lem  12121  difsqpwdvds  12317  exmidunben  12407
  Copyright terms: Public domain W3C validator