Theorem eluz2b1 9951

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )

Proof of Theorem eluz2b1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9622	. . 3 |- 2 e. ZZ
2	1	eluz1i 9879	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
3		1z 9620	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
4		zltp1le 9649	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
6		df-2 9313	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
7	6	breq1i 4121	. . . 4 |- ( 2 <_ N <-> ( 1 + 1 ) <_ N )
8	5, 7	bitr4di 198	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N <-> 2 <_ N ) )
9	8	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) <-> ( N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
10	2, 9	bitr4i 187	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  eluz2gt1  9952  eluz2b2  9953  uz2m1nn  9955  uz2mulcl  9958  prmind2  12842  2prm  12849  3prm  12850  sqnprm  12858  isprm5lem  12863  difsqpwdvds  13061  exmidunben  13261  mersenne  15991