ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsubi Unicode version

Theorem eluzsubi 9346
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1  |-  M  e.  ZZ
eluzaddi.2  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluzsubi  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsubi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9328 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzaddi.2 . . 3  |-  K  e.  ZZ
3 zsubcl 9088 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 409 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
5 eluzaddi.1 . . . . 5  |-  M  e.  ZZ
6 zaddcl 9087 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
75, 2, 6mp2an 422 . . . 4  |-  ( M  +  K )  e.  ZZ
87eluz1i 9326 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) )
9 zre 9051 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
105zrei 9053 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
112zrei 9053 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
12 leaddsub 8193 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1310, 11, 12mp3an12 1305 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
149, 13syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1514biimpa 294 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  N )  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
168, 15sylbi 120 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
175eluz1i 9326 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  K
) ) )
184, 16, 17sylanbrc 413 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612    + caddc 7616    <_ cle 7794    - cmin 7926   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator