ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzsubi Unicode version

Theorem eluzsubi 9107
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1  |-  M  e.  ZZ
eluzaddi.2  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluzsubi  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzsubi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9089 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzaddi.2 . . 3  |-  K  e.  ZZ
3 zsubcl 8852 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 405 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
5 eluzaddi.1 . . . . 5  |-  M  e.  ZZ
6 zaddcl 8851 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
75, 2, 6mp2an 418 . . . 4  |-  ( M  +  K )  e.  ZZ
87eluz1i 9087 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  N ) )
9 zre 8815 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
105zrei 8817 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
112zrei 8817 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
12 leaddsub 7977 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1310, 11, 12mp3an12 1264 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
149, 13syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  K ) ) )
1514biimpa 291 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  N )  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
168, 15sylbi 120 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  M  <_  ( N  -  K ) )
175eluz1i 9087 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  K
) ) )
184, 16, 17sylanbrc 409 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   RRcr 7410    + caddc 7414    <_ cle 7584    - cmin 7714   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator