Theorem elvv 4684

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4639	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)))
2		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)
5	4	biantru 302	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)))
6	5	2exbii 1606	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)))
7	1, 6	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ⟨cop 3594   × cxp 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-opab 4062  df-xp 4628

This theorem is referenced by:  elvvv  4685  elvvuni  4686  ssrel  4710  elrel  4724  relop  4772  elreldm  4848  dmsnm  5089  1stval2  6149  2ndval2  6150  dfopab2  6183  dfoprab3s  6184  dftpos4  6257  tpostpos  6258  fundmen  6799