Theorem diffitest 7181

Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form -. ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
diffitest.1	|- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin

Assertion

Ref	Expression
diffitest	|- ( -. ph \/ -. -. ph )

Distinct variable groups:   a, b   ph, b

Allowed substitution hint:   ph( a)

Proof of Theorem diffitest

Dummy variables x n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4255	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		snfig 7093	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
4		diffitest.1	. . . . 5 |- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin
5		difeq1 3340	. . . . . . . 8 |- ( a = { (/) } -> ( a \ b ) = ( { (/) } \ b ) )
6	5	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( a = { (/) } -> ( ( a \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
7	6	albidv 1877	. . . . . 6 |- ( a = { (/) } -> ( A. b ( a \ b ) e. Fin <-> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
8	7	rspcv 2925	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> ( A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin -> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
9	3, 4, 8	mp2 16	. . . 4 |- A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin
10		rabexg 4274	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. Fin -> { x e. { (/) } | ph } e. _V )
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
12		difeq2 3341	. . . . . 6 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } \ b ) = ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
13	12	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
14	11, 13	spcv 2919	. . . 4 |- ( A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin )
15	9, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin
16		isfi 7037	. . 3 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin <-> E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n )
17	15, 16	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n
18		0elnn 4761	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
19		breq2 4129	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) ) )
20		en0 7072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
21	19, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) ) )
22	21	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
23		rabeq0 3552	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
24		notrab 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = { x e. { (/) } | -. ph }
25	24	eqeq1i 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
26	1	snm 3828	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
27		r19.3rmv 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
29	23, 25, 28	3bitr4i 212	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> -. -. ph )
30	22, 29	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> -. -. ph )
31	30	olcd 746	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
32		ensym 7058	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
33		elex2 2838	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. w w e. n )
34		enm 7108	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) /\ E. w w e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
35	32, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
36		biidd 172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( -. ph <-> -. ph ) )
37	36	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( y e. { (/) } /\ -. ph ) )
38	37	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
39	38	orcd 745	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
40	39, 24	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
41	40	exlimiv 1651	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
42	35, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
43	31, 42	jaodan 809	. . . . 5 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
44	18, 43	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n e. om ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
45	44	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
46	45	rexlimiva 2663	. 2 |- ( E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
47	17, 46	ax-mp 5	1 |- ( -. ph \/ -. -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3705   class class class wbr 4125   omcom 4732   ~~ cen 7010   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

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