Theorem diffitest 6906

Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form -. ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
diffitest.1	|- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin

Assertion

Ref	Expression
diffitest	|- ( -. ph \/ -. -. ph )

Distinct variable groups:   a, b   ph, b

Allowed substitution hint:   ph( a)

Proof of Theorem diffitest

Dummy variables x n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4145	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		snfig 6833	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
4		diffitest.1	. . . . 5 |- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin
5		difeq1 3261	. . . . . . . 8 |- ( a = { (/) } -> ( a \ b ) = ( { (/) } \ b ) )
6	5	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( a = { (/) } -> ( ( a \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
7	6	albidv 1835	. . . . . 6 |- ( a = { (/) } -> ( A. b ( a \ b ) e. Fin <-> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
8	7	rspcv 2852	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> ( A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin -> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
9	3, 4, 8	mp2 16	. . . 4 |- A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin
10		rabexg 4161	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. Fin -> { x e. { (/) } | ph } e. _V )
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
12		difeq2 3262	. . . . . 6 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } \ b ) = ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
13	12	eleq1d 2258	. . . . 5 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
14	11, 13	spcv 2846	. . . 4 |- ( A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin )
15	9, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin
16		isfi 6780	. . 3 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin <-> E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n )
17	15, 16	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n
18		0elnn 4633	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
19		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) ) )
20		en0 6814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
21	19, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) ) )
22	21	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
23		rabeq0 3467	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
24		notrab 3427	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = { x e. { (/) } | -. ph }
25	24	eqeq1i 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
26	1	snm 3727	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
27		r19.3rmv 3528	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
29	23, 25, 28	3bitr4i 212	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> -. -. ph )
30	22, 29	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> -. -. ph )
31	30	olcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
32		ensym 6800	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
33		elex2 2768	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. w w e. n )
34		enm 6839	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) /\ E. w w e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
35	32, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
36		biidd 172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( -. ph <-> -. ph ) )
37	36	elrab 2908	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( y e. { (/) } /\ -. ph ) )
38	37	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
39	38	orcd 734	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
40	39, 24	eleq2s 2284	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
41	40	exlimiv 1609	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
42	35, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
43	31, 42	jaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
44	18, 43	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n e. om ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
45	44	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
46	45	rexlimiva 2602	. 2 |- ( E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
47	17, 46	ax-mp 5	1 |- ( -. ph \/ -. -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   (/)c0 3437   {csn 3607   class class class wbr 4018   omcom 4604   ~~ cen 6757   Fincfn 6759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-1o 6436  df-er 6554  df-en 6760  df-fin 6762

This theorem is referenced by: (None)