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Theorem diffitest 6781
Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form  -.  ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove  A  e.  Fin  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
diffitest.1  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
diffitest  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Distinct variable groups:    a, b    ph, b
Allowed substitution hint:    ph( a)

Proof of Theorem diffitest
Dummy variables  x  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6708 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 diffitest.1 . . . . 5  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
5 difeq1 3187 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( a  \  b )  =  ( { (/) } 
\  b ) )
65eleq1d 2208 . . . . . . 7  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( ( a  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  b )  e.  Fin ) )
76albidv 1796 . . . . . 6  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin 
<-> 
A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
87rspcv 2785 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  ( A. a  e. 
Fin  A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin  ->  A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
93, 4, 8mp2 16 . . . 4  |-  A. b
( { (/) }  \ 
b )  e.  Fin
10 rabexg 4071 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { x  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  _V )
113, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
12 difeq2 3188 . . . . . 6  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) } 
\  b )  =  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1312eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin ) )
1411, 13spcv 2779 . . . 4  |-  ( A. b ( { (/) } 
\  b )  e. 
Fin  ->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  e.  Fin )
159, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin
16 isfi 6655 . . 3  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
)
1715, 16mpbi 144 . 2  |-  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
18 0elnn 4532 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
19 breq2 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ~~  (/) ) )
20 en0 6689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  (/)  <->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  =  (/) )
2119, 20syl6bb 195 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) ) )
2221biimpac 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) )
23 rabeq0 3392 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  -.  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
24 notrab 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  {
x  e.  { (/) }  |  -.  ph }
2524eqeq1i 2147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  { x  e.  { (/)
}  |  -.  ph }  =  (/) )
261snm 3643 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
27 r19.3rmv 3453 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  -.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
2923, 25, 283bitr4i 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  -.  -.  ph )
3022, 29sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  -.  ph )
3130olcd 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
32 ensym 6675 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  n  ~~  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
33 elex2 2702 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. w  w  e.  n )
34 enm 6714 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  /\  E. w  w  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
3532, 33, 34syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
36 biidd 171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ph ) )
3736elrab 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  <->  ( y  e. 
{ (/) }  /\  -.  ph ) )
3837simprbi 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
3938orcd 722 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4039, 24eleq2s 2234 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4140exlimiv 1577 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph )
)
4235, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4331, 42jaodan 786 . . . . 5  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4418, 43sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4544ancoms 266 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n )  -> 
( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4645rexlimiva 2544 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4717, 46ax-mp 5 1  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686    \ cdif 3068   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   omcom 4504    ~~ cen 6632   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
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