Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffitest Unicode version

Theorem diffitest 6781
 Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove . (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
diffitest.1
Assertion
Ref Expression
diffitest
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem diffitest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . . . . 6
2 snfig 6708 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
4 diffitest.1 . . . . 5
5 difeq1 3187 . . . . . . . 8
65eleq1d 2208 . . . . . . 7
76albidv 1796 . . . . . 6
87rspcv 2785 . . . . 5
93, 4, 8mp2 16 . . . 4
10 rabexg 4071 . . . . . 6
113, 10ax-mp 5 . . . . 5
12 difeq2 3188 . . . . . 6
1312eleq1d 2208 . . . . 5
1411, 13spcv 2779 . . . 4
159, 14ax-mp 5 . . 3
16 isfi 6655 . . 3
1715, 16mpbi 144 . 2
18 0elnn 4532 . . . . 5
19 breq2 3933 . . . . . . . . . 10
20 en0 6689 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl6bb 195 . . . . . . . . 9
2221biimpac 296 . . . . . . . 8
23 rabeq0 3392 . . . . . . . . 9
24 notrab 3353 . . . . . . . . . 10
2524eqeq1i 2147 . . . . . . . . 9
261snm 3643 . . . . . . . . . 10
27 r19.3rmv 3453 . . . . . . . . . 10
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2923, 25, 283bitr4i 211 . . . . . . . 8
3022, 29sylib 121 . . . . . . 7
3130olcd 723 . . . . . 6
32 ensym 6675 . . . . . . . 8
33 elex2 2702 . . . . . . . 8
34 enm 6714 . . . . . . . 8
3532, 33, 34syl2an 287 . . . . . . 7
36 biidd 171 . . . . . . . . . . . 12
3736elrab 2840 . . . . . . . . . . 11
3837simprbi 273 . . . . . . . . . 10
3938orcd 722 . . . . . . . . 9
4039, 24eleq2s 2234 . . . . . . . 8
4140exlimiv 1577 . . . . . . 7
4235, 41syl 14 . . . . . 6
4331, 42jaodan 786 . . . . 5
4418, 43sylan2 284 . . . 4
4544ancoms 266 . . 3
4645rexlimiva 2544 . 2
4717, 46ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 103   wb 104   wo 697  wal 1329   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  crab 2420  cvv 2686   cdif 3068  c0 3363  csn 3527   class class class wbr 3929  com 4504   cen 6632  cfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator