ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffitest Unicode version

Theorem diffitest 6749
Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form  -.  ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove  A  e.  Fin  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
diffitest.1  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
diffitest  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Distinct variable groups:    a, b    ph, b
Allowed substitution hint:    ph( a)

Proof of Theorem diffitest
Dummy variables  x  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4025 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6676 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 diffitest.1 . . . . 5  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
5 difeq1 3157 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( a  \  b )  =  ( { (/) } 
\  b ) )
65eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( ( a  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  b )  e.  Fin ) )
76albidv 1780 . . . . . 6  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin 
<-> 
A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
87rspcv 2759 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  ( A. a  e. 
Fin  A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin  ->  A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
93, 4, 8mp2 16 . . . 4  |-  A. b
( { (/) }  \ 
b )  e.  Fin
10 rabexg 4041 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { x  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  _V )
113, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
12 difeq2 3158 . . . . . 6  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) } 
\  b )  =  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1312eleq1d 2186 . . . . 5  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin ) )
1411, 13spcv 2753 . . . 4  |-  ( A. b ( { (/) } 
\  b )  e. 
Fin  ->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  e.  Fin )
159, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin
16 isfi 6623 . . 3  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
)
1715, 16mpbi 144 . 2  |-  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
18 0elnn 4502 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
19 breq2 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ~~  (/) ) )
20 en0 6657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  (/)  <->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  =  (/) )
2119, 20syl6bb 195 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) ) )
2221biimpac 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) )
23 rabeq0 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  -.  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
24 notrab 3323 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  {
x  e.  { (/) }  |  -.  ph }
2524eqeq1i 2125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  { x  e.  { (/)
}  |  -.  ph }  =  (/) )
261snm 3613 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
27 r19.3rmv 3423 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  -.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
2923, 25, 283bitr4i 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  -.  -.  ph )
3022, 29sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  -.  ph )
3130olcd 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
32 ensym 6643 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  n  ~~  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
33 elex2 2676 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. w  w  e.  n )
34 enm 6682 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  /\  E. w  w  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
3532, 33, 34syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
36 biidd 171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ph ) )
3736elrab 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  <->  ( y  e. 
{ (/) }  /\  -.  ph ) )
3837simprbi 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
3938orcd 707 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4039, 24eleq2s 2212 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4140exlimiv 1562 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph )
)
4235, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4331, 42jaodan 771 . . . . 5  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4418, 43sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4544ancoms 266 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n )  -> 
( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4645rexlimiva 2521 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4717, 46ax-mp 5 1  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397   _Vcvv 2660    \ cdif 3038   (/)c0 3333   {csn 3497   class class class wbr 3899   omcom 4474    ~~ cen 6600   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator