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Theorem diffitest 6847
Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form  -.  ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove  A  e.  Fin  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
diffitest.1  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
diffitest  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Distinct variable groups:    a, b    ph, b
Allowed substitution hint:    ph( a)

Proof of Theorem diffitest
Dummy variables  x  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4106 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6774 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 diffitest.1 . . . . 5  |-  A. a  e.  Fin  A. b ( a  \  b )  e.  Fin
5 difeq1 3231 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( a  \  b )  =  ( { (/) } 
\  b ) )
65eleq1d 2233 . . . . . . 7  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( ( a  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  b )  e.  Fin ) )
76albidv 1811 . . . . . 6  |-  ( a  =  { (/) }  ->  ( A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin 
<-> 
A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
87rspcv 2824 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  ( A. a  e. 
Fin  A. b ( a 
\  b )  e. 
Fin  ->  A. b ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin )
)
93, 4, 8mp2 16 . . . 4  |-  A. b
( { (/) }  \ 
b )  e.  Fin
10 rabexg 4122 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { x  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  _V )
113, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
12 difeq2 3232 . . . . . 6  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) } 
\  b )  =  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1312eleq1d 2233 . . . . 5  |-  ( b  =  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  \  b
)  e.  Fin  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin ) )
1411, 13spcv 2818 . . . 4  |-  ( A. b ( { (/) } 
\  b )  e. 
Fin  ->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  e.  Fin )
159, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin
16 isfi 6721 . . 3  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
)
1715, 16mpbi 144 . 2  |-  E. n  e.  om  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ~~  n
18 0elnn 4593 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
19 breq2 3983 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ~~  (/) ) )
20 en0 6755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  (/)  <->  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  =  (/) )
2119, 20bitrdi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  <->  ( { (/)
}  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) ) )
2221biimpac 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/) )
23 rabeq0 3436 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  -.  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
24 notrab 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  {
x  e.  { (/) }  |  -.  ph }
2524eqeq1i 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  { x  e.  { (/)
}  |  -.  ph }  =  (/) )
261snm 3693 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
27 r19.3rmv 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  -.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ph  <->  A. x  e.  { (/)
}  -.  -.  ph )
2923, 25, 283bitr4i 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  =  (/)  <->  -.  -.  ph )
3022, 29sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  -.  ph )
3130olcd 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
32 ensym 6741 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  n  ~~  ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
33 elex2 2740 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. w  w  e.  n )
34 enm 6780 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  /\  E. w  w  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
3532, 33, 34syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  ( {
(/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
36 biidd 171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ph ) )
3736elrab 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  <->  ( y  e. 
{ (/) }  /\  -.  ph ) )
3837simprbi 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
3938orcd 723 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  -.  ph }  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4039, 24eleq2s 2259 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( { (/) } 
\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4140exlimiv 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph )
)
4235, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4331, 42jaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4418, 43sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  \  { x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4544ancoms 266 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n )  -> 
( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4645rexlimiva 2576 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( { (/) }  \  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) 
~~  n  ->  ( -.  ph  \/  -.  -.  ph ) )
4717, 46ax-mp 5 1  |-  ( -. 
ph  \/  -.  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698   A.wal 1340    = wceq 1342   E.wex 1479    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446   _Vcvv 2724    \ cdif 3111   (/)c0 3407   {csn 3573   class class class wbr 3979   omcom 4564    ~~ cen 6698   Fincfn 6700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-iinf 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-1o 6378  df-er 6495  df-en 6701  df-fin 6703
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