Theorem diffitest 6865

Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form -. ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
diffitest.1	|- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin

Assertion

Ref	Expression
diffitest	|- ( -. ph \/ -. -. ph )

Distinct variable groups:   a, b   ph, b

Allowed substitution hint:   ph( a)

Proof of Theorem diffitest

Dummy variables x n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		snfig 6792	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
4		diffitest.1	. . . . 5 |- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin
5		difeq1 3238	. . . . . . . 8 |- ( a = { (/) } -> ( a \ b ) = ( { (/) } \ b ) )
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( a = { (/) } -> ( ( a \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
7	6	albidv 1817	. . . . . 6 |- ( a = { (/) } -> ( A. b ( a \ b ) e. Fin <-> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
8	7	rspcv 2830	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> ( A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin -> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
9	3, 4, 8	mp2 16	. . . 4 |- A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin
10		rabexg 4132	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. Fin -> { x e. { (/) } | ph } e. _V )
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
12		difeq2 3239	. . . . . 6 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } \ b ) = ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
13	12	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
14	11, 13	spcv 2824	. . . 4 |- ( A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin )
15	9, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin
16		isfi 6739	. . 3 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin <-> E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n )
17	15, 16	mpbi 144	. 2 |- E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n
18		0elnn 4603	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
19		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) ) )
20		en0 6773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
21	19, 20	bitrdi 195	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) ) )
22	21	biimpac 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
23		rabeq0 3444	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
24		notrab 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = { x e. { (/) } | -. ph }
25	24	eqeq1i 2178	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
26	1	snm 3703	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
27		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
29	23, 25, 28	3bitr4i 211	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> -. -. ph )
30	22, 29	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> -. -. ph )
31	30	olcd 729	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
32		ensym 6759	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
33		elex2 2746	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. w w e. n )
34		enm 6798	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) /\ E. w w e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
35	32, 33, 34	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
36		biidd 171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( -. ph <-> -. ph ) )
37	36	elrab 2886	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( y e. { (/) } /\ -. ph ) )
38	37	simprbi 273	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
39	38	orcd 728	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
40	39, 24	eleq2s 2265	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
41	40	exlimiv 1591	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
42	35, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
43	31, 42	jaodan 792	. . . . 5 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
44	18, 43	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n e. om ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
45	44	ancoms 266	. . 3 |- ( ( n e. om /\ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
46	45	rexlimiva 2582	. 2 |- ( E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
47	17, 46	ax-mp 5	1 |- ( -. ph \/ -. -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   omcom 4574   ~~ cen 6716   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by: (None)