ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem Unicode version

Theorem ssfilem 6571
Description: Lemma for ssfiexmid 6572. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, z

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2 isfi 6458 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin 
<->  E. n  e.  om  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )
31, 2mpbi 143 . 2  |-  E. n  e.  om  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ~~  n
4 0elnn 4422 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
5 breq2 3841 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  (/) ) )
6 en0 6492 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  (/)  <->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
75, 6syl6bb 194 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) ) )
87biimpac 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
9 rabeq0 3310 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph )
10 0ex 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
1110snm 3555 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
12 r19.3rmv 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph ) )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  { (/)
}  -.  ph )
149, 13bitr4i 185 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  -. 
ph )
158, 14sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  ph )
1615olcd 688 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
17 ensym 6478 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  n  ~~  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )
18 elex2 2635 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. x  x  e.  n )
19 enm 6516 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  { z  e.  { (/) }  |  ph }  /\  E. x  x  e.  n )  ->  E. y  y  e. 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2017, 18, 19syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 biidd 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2769 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<->  ( y  e.  { (/)
}  /\  ph ) )
2322simprbi 269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ph )
2423orcd 687 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2524exlimiv 1534 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  (
ph  \/  -.  ph )
)
2620, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2716, 26jaodan 746 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
284, 27sylan2 280 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
2928ancoms 264 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
3029rexlimiva 2484 . 2  |-  ( E. n  e.  om  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
313, 30ax-mp 7 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   (/)c0 3284   {csn 3441   class class class wbr 3837   omcom 4395    ~~ cen 6435   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6572  domfiexmid  6574
  Copyright terms: Public domain W3C validator