ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem Unicode version

Theorem ssfilem 6874
Description: Lemma for ssfiexmid 6875. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, z

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2 isfi 6760 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin 
<->  E. n  e.  om  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )
31, 2mpbi 145 . 2  |-  E. n  e.  om  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ~~  n
4 0elnn 4618 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
5 breq2 4007 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  (/) ) )
6 en0 6794 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  (/)  <->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
75, 6bitrdi 196 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) ) )
87biimpac 298 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
9 rabeq0 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph )
10 0ex 4130 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
1110snm 3712 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
12 r19.3rmv 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  { (/)
}  -.  ph )
149, 13bitr4i 187 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  -. 
ph )
158, 14sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  ph )
1615olcd 734 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
17 ensym 6780 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  n  ~~  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )
18 elex2 2753 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. x  x  e.  n )
19 enm 6819 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  { z  e.  { (/) }  |  ph }  /\  E. x  x  e.  n )  ->  E. y  y  e. 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2017, 18, 19syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 biidd 172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<->  ( y  e.  { (/)
}  /\  ph ) )
2322simprbi 275 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ph )
2423orcd 733 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2524exlimiv 1598 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  (
ph  \/  -.  ph )
)
2620, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2716, 26jaodan 797 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
284, 27sylan2 286 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
2928ancoms 268 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
3029rexlimiva 2589 . 2  |-  ( E. n  e.  om  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
313, 30ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   omcom 4589    ~~ cen 6737   Fincfn 6739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6875  domfiexmid  6877
  Copyright terms: Public domain W3C validator