Theorem ssfilem 7132

Description: Lemma for ssfiexmid 7133. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	|- { z e. { (/) } | ph } e. Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, z

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
2		isfi 7002	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
3	1, 2	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
4		0elnn 4743	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4115	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
6		en0 7037	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
9		rabeq0 3540	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
10		0ex 4239	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3814	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
16	15	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
17		ensym 7023	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
18		elex2 2832	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 7073	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2975	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
24	23	orcd 741	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
25	24	exlimiv 1647	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
27	16, 26	jaodan 805	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
30	29	rexlimiva 2657	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
31	3, 30	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   (/)c0 3510   {csn 3691   class class class wbr 4111   omcom 4714   ~~ cen 6975   Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  7133  domfiexmid  7137