Theorem ssfilem 6822

Description: Lemma for ssfiexmid 6823. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	|- { z e. { (/) } | ph } e. Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, z

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
2		isfi 6708	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
3	1, 2	mpbi 144	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
4		0elnn 4580	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 3971	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
6		en0 6742	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 195	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
8	7	biimpac 296	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
9		rabeq0 3424	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
10		0ex 4093	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3681	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
14	9, 13	bitr4i 186	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
15	8, 14	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
16	15	olcd 724	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
17		ensym 6728	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
18		elex2 2728	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 6767	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
20	17, 18, 19	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
21		biidd 171	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
23	22	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
24	23	orcd 723	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
25	24	exlimiv 1578	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
27	16, 26	jaodan 787	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
28	4, 27	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29	28	ancoms 266	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
30	29	rexlimiva 2569	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
31	3, 30	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   (/)c0 3395   {csn 3561   class class class wbr 3967   omcom 4551   ~~ cen 6685   Fincfn 6687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-iinf 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-er 6482  df-en 6688  df-fin 6690

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6823  domfiexmid  6825