Theorem ssfilem 6972

Description: Lemma for ssfiexmid 6973. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	|- { z e. { (/) } | ph } e. Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, z

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
2		isfi 6852	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
3	1, 2	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
4		0elnn 4667	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4048	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
6		en0 6887	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
9		rabeq0 3490	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
10		0ex 4171	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3753	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3551	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
16	15	olcd 736	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
17		ensym 6873	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
18		elex2 2788	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 6915	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
24	23	orcd 735	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
25	24	exlimiv 1621	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
27	16, 26	jaodan 799	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
30	29	rexlimiva 2618	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
31	3, 30	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   omcom 4638   ~~ cen 6825   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6973  domfiexmid  6975