ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem Unicode version

Theorem ssfilem 6735
Description: Lemma for ssfiexmid 6736. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, z

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2 isfi 6621 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin 
<->  E. n  e.  om  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )
31, 2mpbi 144 . 2  |-  E. n  e.  om  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ~~  n
4 0elnn 4500 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
5 breq2 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  (/) ) )
6 en0 6655 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  (/)  <->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
75, 6syl6bb 195 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) ) )
87biimpac 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
9 rabeq0 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph )
10 0ex 4023 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
1110snm 3611 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
12 r19.3rmv 3421 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  { (/)
}  -.  ph )
149, 13bitr4i 186 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  -. 
ph )
158, 14sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  ph )
1615olcd 706 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
17 ensym 6641 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  n  ~~  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )
18 elex2 2674 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. x  x  e.  n )
19 enm 6680 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  { z  e.  { (/) }  |  ph }  /\  E. x  x  e.  n )  ->  E. y  y  e. 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2017, 18, 19syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 biidd 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<->  ( y  e.  { (/)
}  /\  ph ) )
2322simprbi 271 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ph )
2423orcd 705 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2524exlimiv 1560 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  (
ph  \/  -.  ph )
)
2620, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2716, 26jaodan 769 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
284, 27sylan2 282 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
2928ancoms 266 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
3029rexlimiva 2519 . 2  |-  ( E. n  e.  om  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
313, 30ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   {crab 2395   (/)c0 3331   {csn 3495   class class class wbr 3897   omcom 4472    ~~ cen 6598   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6736  domfiexmid  6738
  Copyright terms: Public domain W3C validator