ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem Unicode version

Theorem ssfilem 6822
Description: Lemma for ssfiexmid 6823. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, z

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2 isfi 6708 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin 
<->  E. n  e.  om  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )
31, 2mpbi 144 . 2  |-  E. n  e.  om  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ~~  n
4 0elnn 4580 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )
5 breq2 3971 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  (/) ) )
6 en0 6742 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  (/)  <->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
75, 6bitrdi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) ) )
87biimpac 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
9 rabeq0 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph )
10 0ex 4093 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
1110snm 3681 . . . . . . . . . 10  |-  E. w  w  e.  { (/) }
12 r19.3rmv 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  w  e.  { (/)
}  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  { (/) }  -.  ph ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  { (/)
}  -.  ph )
149, 13bitr4i 186 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  <->  -. 
ph )
158, 14sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  -.  ph )
1615olcd 724 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  =  (/) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
17 ensym 6728 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  n  ~~  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )
18 elex2 2728 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  n  ->  E. x  x  e.  n )
19 enm 6767 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  ~~  { z  e.  { (/) }  |  ph }  /\  E. x  x  e.  n )  ->  E. y  y  e. 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2017, 18, 19syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  E. y 
y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 biidd 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<->  ( y  e.  { (/)
}  /\  ph ) )
2322simprbi 273 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ph )
2423orcd 723 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2524exlimiv 1578 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  (
ph  \/  -.  ph )
)
2620, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (/)  e.  n
)  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2716, 26jaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  (
n  =  (/)  \/  (/)  e.  n
) )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
284, 27sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ~~  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
2928ancoms 266 . . 3  |-  ( ( n  e.  om  /\  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
3029rexlimiva 2569 . 2  |-  ( E. n  e.  om  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  ~~  n  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
313, 30ax-mp 5 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   (/)c0 3395   {csn 3561   class class class wbr 3967   omcom 4551    ~~ cen 6685   Fincfn 6687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-er 6482  df-en 6688  df-fin 6690
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6823  domfiexmid  6825
  Copyright terms: Public domain W3C validator