Theorem ssfilem 7061

Description: Lemma for ssfiexmid 7062. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	|- { z e. { (/) } | ph } e. Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, z

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
2		isfi 6933	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
3	1, 2	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
4		0elnn 4717	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
6		en0 6968	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
9		rabeq0 3524	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
10		0ex 4216	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3792	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
16	15	olcd 741	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
17		ensym 6954	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
18		elex2 2819	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 7003	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
24	23	orcd 740	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
25	24	exlimiv 1646	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
27	16, 26	jaodan 804	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
30	29	rexlimiva 2645	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
31	3, 30	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   (/)c0 3494   {csn 3669   class class class wbr 4088   omcom 4688   ~~ cen 6906   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  7062  domfiexmid  7066