Theorem ssfilem 6877

Description: Lemma for ssfiexmid 6878. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	|- { z e. { (/) } | ph } e. Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, z

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 |- { z e. { (/) } | ph } e. Fin
2		isfi 6763	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n )
3	1, 2	mpbi 145	. 2 |- E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n
4		0elnn 4620	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) ) )
6		en0 6797	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
9		rabeq0 3454	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
10		0ex 4132	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3714	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3515	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> -. ph )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ph )
16	15	olcd 734	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
17		ensym 6783	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ph } )
18		elex2 2755	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 6822	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ph } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ph } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2895	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( y e. { (/) } /\ ph ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
24	23	orcd 733	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
25	24	exlimiv 1598	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ph } -> ( ph \/ -. ph ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
27	16, 26	jaodan 797	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ph } ~~ n ) -> ( ph \/ -. ph ) )
30	29	rexlimiva 2589	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ph } ~~ n -> ( ph \/ -. ph ) )
31	3, 30	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   (/)c0 3424   {csn 3594   class class class wbr 4005   omcom 4591   ~~ cen 6740   Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6878  domfiexmid  6880