Theorem enm 6874

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1of 5500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3		ffvelcdm 5691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		elex2 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
6	5	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
8	7	exlimiv 1609	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
9	1, 8	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
11	10	exlimiv 1609	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254   ≈ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-en 6795

This theorem is referenced by:  ssfilem  6931  diffitest  6943