ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enm GIF version

Theorem enm 6714
Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
enm ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6641 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1of 5367 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
3 ffvelrn 5553 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
4 elex2 2702 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
65ex 114 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
72, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
87exlimiv 1577 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
91, 8sylbi 120 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
109com12 30 . . 3 (𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1110exlimiv 1577 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1211impcom 124 1 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1468  wcel 1480   class class class wbr 3929  wf 5119  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123  cen 6632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-en 6635
This theorem is referenced by:  ssfilem  6769  diffitest  6781
  Copyright terms: Public domain W3C validator