Theorem enm 6722

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6649	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1of 5375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3		ffvelrn 5561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		elex2 2705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
6	5	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
8	7	exlimiv 1578	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
9	1, 8	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
11	10	exlimiv 1578	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ⟶wf 5127  –1-1-onto→wf1o 5130  ‘cfv 5131   ≈ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-en 6643

This theorem is referenced by:  ssfilem  6777  diffitest  6789