Theorem eqsstrrd 3285

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	|- ( ph -> B = A )
eqsstrrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 |- ( ph -> B = A )
2	1	eqcomd 2244	. 2 |- ( ph -> A = B )
3		eqsstrrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
4	2, 3	eqsstrd 3284	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  ssxpbm  5226  ssxp1  5227  ssxp2  5228  suppssof1  6324  tfrlemiubacc  6606  tfr1onlemubacc  6622  tfrcllemubacc  6635  oaword1  6749  phplem4dom  7169  fisseneq  7248  nnnninfeq2  7475  archnqq  7790  hashdmprop2dom  11317  imasaddfnlemg  13693  resmhm2  13853  cmnsubm  14201  ringidss  14440  subrg1  14647  subrgdvds  14651  subrguss  14652  subrginv  14653  islss3  14824  lspsnneg  14865  mplsubgfileminv  15233  epttop  15333  metequiv2  15739  limccnpcntop  15918  limccnp2lem  15919  limccnp2cntop  15920  umgredgprv  16578  uspgrupgrushgr  16645  usgrumgruspgr  16648  nnsf  17271