Theorem eqsstrrd 3275

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
eqsstrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqsstrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	eqsstrd 3274	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  ssxpbm  5198  ssxp1  5199  ssxp2  5200  suppssof1  6284  tfrlemiubacc  6561  tfr1onlemubacc  6577  tfrcllemubacc  6590  oaword1  6704  phplem4dom  7116  fisseneq  7195  nnnninfeq2  7420  archnqq  7732  hashdmprop2dom  11216  imasaddfnlemg  13527  resmhm2  13701  ringidss  14173  subrg1  14376  subrgdvds  14380  subrguss  14381  subrginv  14382  islss3  14527  lspsnneg  14568  epttop  14955  metequiv2  15361  limccnpcntop  15540  limccnp2lem  15541  limccnp2cntop  15542  umgredgprv  16110  uspgrupgrushgr  16177  usgrumgruspgr  16180  nnsf  16783