Theorem eqsstrrd 3264

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
eqsstrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqsstrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	eqsstrd 3263	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  ssxpbm  5172  ssxp1  5173  ssxp2  5174  suppssof1  6252  tfrlemiubacc  6495  tfr1onlemubacc  6511  tfrcllemubacc  6524  oaword1  6638  phplem4dom  7047  fisseneq  7126  nnnninfeq2  7327  archnqq  7636  hashdmprop2dom  11107  imasaddfnlemg  13396  resmhm2  13570  ringidss  14041  subrg1  14244  subrgdvds  14248  subrguss  14249  subrginv  14250  islss3  14392  lspsnneg  14433  epttop  14813  metequiv2  15219  limccnpcntop  15398  limccnp2lem  15399  limccnp2cntop  15400  umgredgprv  15965  uspgrupgrushgr  16032  usgrumgruspgr  16035  nnsf  16607