Theorem eqsstrrd 3263

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
eqsstrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqsstrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	eqsstrd 3262	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-in 3205  df-ss 3212

This theorem is referenced by:  ssxpbm  5171  ssxp1  5172  ssxp2  5173  suppssof1  6255  tfrlemiubacc  6498  tfr1onlemubacc  6514  tfrcllemubacc  6527  oaword1  6641  phplem4dom  7050  fisseneq  7129  nnnninfeq2  7330  archnqq  7639  hashdmprop2dom  11111  imasaddfnlemg  13417  resmhm2  13591  ringidss  14063  subrg1  14266  subrgdvds  14270  subrguss  14271  subrginv  14272  islss3  14414  lspsnneg  14455  epttop  14840  metequiv2  15246  limccnpcntop  15425  limccnp2lem  15426  limccnp2cntop  15427  umgredgprv  15992  uspgrupgrushgr  16059  usgrumgruspgr  16062  nnsf  16665