Theorem eqsstrrd 3285

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
eqsstrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqsstrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	eqsstrd 3284	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  ssxpbm  5226  ssxp1  5227  ssxp2  5228  suppssof1  6324  tfrlemiubacc  6605  tfr1onlemubacc  6621  tfrcllemubacc  6634  oaword1  6748  phplem4dom  7167  fisseneq  7246  nnnninfeq2  7475  archnqq  7790  hashdmprop2dom  11318  imasaddfnlemg  13694  resmhm2  13854  cmnsubm  14202  ringidss  14441  subrg1  14648  subrgdvds  14652  subrguss  14653  subrginv  14654  islss3  14825  lspsnneg  14866  epttop  15316  metequiv2  15722  limccnpcntop  15901  limccnp2lem  15902  limccnp2cntop  15903  umgredgprv  16561  uspgrupgrushgr  16628  usgrumgruspgr  16631  nnsf  17254