Theorem eqsstrrd 3262

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
eqsstrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqsstrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	eqsstrd 3261	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  ssxpbm  5170  ssxp1  5171  ssxp2  5172  suppssof1  6248  tfrlemiubacc  6491  tfr1onlemubacc  6507  tfrcllemubacc  6520  oaword1  6634  phplem4dom  7043  fisseneq  7119  nnnninfeq2  7319  archnqq  7627  hashdmprop2dom  11098  imasaddfnlemg  13387  resmhm2  13561  ringidss  14032  subrg1  14235  subrgdvds  14239  subrguss  14240  subrginv  14241  islss3  14383  lspsnneg  14424  epttop  14804  metequiv2  15210  limccnpcntop  15389  limccnp2lem  15390  limccnp2cntop  15391  umgredgprv  15956  uspgrupgrushgr  16021  usgrumgruspgr  16024  nnsf  16543