Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metequiv2 Unicode version

Theorem metequiv2 12705
 Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3
metequiv.4
Assertion
Ref Expression
metequiv2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem metequiv2
StepHypRef Expression
1 simprrr 530 . . . . . . . . . . 11
2 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12
3 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12
4 simprlr 528 . . . . . . . . . . . . 13
54rpxrd 9515 . . . . . . . . . . . 12
6 simprll 527 . . . . . . . . . . . . 13
76rpxrd 9515 . . . . . . . . . . . 12
8 simprrl 529 . . . . . . . . . . . 12
9 ssbl 12635 . . . . . . . . . . . 12
102, 3, 5, 7, 8, 9syl221anc 1228 . . . . . . . . . . 11
111, 10eqsstrrd 3139 . . . . . . . . . 10
12 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12
13 ssbl 12635 . . . . . . . . . . . 12
1412, 3, 5, 7, 8, 13syl221anc 1228 . . . . . . . . . . 11
151, 14eqsstrd 3138 . . . . . . . . . 10
1611, 15jca 304 . . . . . . . . 9
1716expr 373 . . . . . . . 8
1817anassrs 398 . . . . . . 7
1918reximdva 2537 . . . . . 6
20 r19.40 2588 . . . . . 6
2119, 20syl6 33 . . . . 5
2221ralimdva 2502 . . . 4
23 r19.26 2561 . . . 4
2422, 23syl6ib 160 . . 3
2524ralimdva 2502 . 2
26 metequiv.3 . . 3
27 metequiv.4 . . 3
2826, 27metequiv 12704 . 2
2925, 28sylibrd 168 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   wss 3076   class class class wbr 3937  cfv 5131  (class class class)co 5782  cxr 7824   cle 7826  crp 9471  cxmet 12189  cbl 12191  cmopn 12194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-xneg 9590  df-xadd 9591  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-topgen 12181  df-psmet 12196  df-xmet 12197  df-bl 12199  df-mopn 12200  df-top 12205  df-bases 12250 This theorem is referenced by:  bdmopn  12713
 Copyright terms: Public domain W3C validator