Theorem metequiv2 13290

Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	|- J = ( MetOpen ` C )
metequiv.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metequiv2	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, C   J, r, s, x   K, r, s, x   D, r, s, x   X, r, s, x

Proof of Theorem metequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrr 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) )
2		simplll 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> x e. X )
4		simprlr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR+ )
5	4	rpxrd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR* )
6		simprll 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR+ )
7	6	rpxrd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR* )
8		simprrl 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s <_ r )
9		ssbl 13220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
10	2, 3, 5, 7, 8, 9	syl221anc 1244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
11	1, 10	eqsstrrd 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
12		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
13		ssbl 13220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
14	12, 3, 5, 7, 8, 13	syl221anc 1244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
15	1, 14	eqsstrd 3183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
16	11, 15	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
17	16	expr 373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
18	17	anassrs 398	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ s e. RR+ ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
19	18	reximdva 2572	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
20		r19.40 2624	. . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
21	19, 20	syl6 33	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
22	21	ralimdva 2537	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
23		r19.26 2596	. . . 4 |- ( A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) <-> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
24	22, 23	syl6ib 160	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
25	24	ralimdva 2537	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
26		metequiv.3	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
27		metequiv.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
28	26, 27	metequiv 13289	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J = K <-> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
29	25, 28	sylibrd 168	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RR*cxr 7953   <_ cle 7955   RR+crp 9610   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776   MetOpencmopn 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  bdmopn  13298