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Theorem metequiv2 15164
Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 |- J = ( MetOpen ` C )
metequiv.4 |- K = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
metequiv2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )
Distinct variable groups:   s, r, x, C   J, r, s, x   K, r, s, x   D, r, s, x   X, r, s, x
Proof of Theorem metequiv2
StepHypRef Expression
1 simprrr 540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) )
2 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> x e. X )
4 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR+ )
54rpxrd 9889 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR* )
6 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR+ )
76rpxrd 9889 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR* )
8 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s <_ r )
9 ssbl 15094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
102, 3, 5, 7, 8, 9syl221anc 1282 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
111, 10eqsstrrd 3261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
12 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
13 ssbl 15094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
1412, 3, 5, 7, 8, 13syl221anc 1282 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
151, 14eqsstrd 3260 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
1611, 15jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
1716expr 375 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
1817anassrs 400 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ s e. RR+ ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
1918reximdva 2632 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
20 r19.40 2685 . . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
2119, 20syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
2221ralimdva 2597 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
23 r19.26 2657 . . . 4 |- ( A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) <-> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
2422, 23imbitrdi 161 . . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
2524ralimdva 2597 . 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
26 metequiv.3 . . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
27 metequiv.4 . . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
2826, 27metequiv 15163 . 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J = K <-> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
2925, 28sylibrd 169 1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RR*cxr 8176   <_ cle 8178   RR+crp 9845   *Metcxmet 14494   ballcbl 14496   MetOpencmopn 14499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-bases 14711
This theorem is referenced by:  bdmopn  15172
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