Theorem metequiv2 14664

Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	|- J = ( MetOpen ` C )
metequiv.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metequiv2	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, C   J, r, s, x   K, r, s, x   D, r, s, x   X, r, s, x

Proof of Theorem metequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) )
2		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> x e. X )
4		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR+ )
5	4	rpxrd 9763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s e. RR* )
6		simprll 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR+ )
7	6	rpxrd 9763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> r e. RR* )
8		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> s <_ r )
9		ssbl 14594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
10	2, 3, 5, 7, 8, 9	syl221anc 1260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
11	1, 10	eqsstrrd 3216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) )
12		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
13		ssbl 14594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( s e. RR* /\ r e. RR* ) /\ s <_ r ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
14	12, 3, 5, 7, 8, 13	syl221anc 1260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
15	1, 14	eqsstrd 3215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
16	11, 15	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) /\ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
17	16	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
18	17	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ s e. RR+ ) -> ( ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
19	18	reximdva 2596	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
20		r19.40 2648	. . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
21	19, 20	syl6 33	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
22	21	ralimdva 2561	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
23		r19.26 2620	. . . 4 |- ( A. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) <-> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
24	22, 23	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
25	24	ralimdva 2561	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
26		metequiv.3	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
27		metequiv.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
28	26, 27	metequiv 14663	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J = K <-> A. x e. X ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` C ) s ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) )
29	25, 28	sylibrd 169	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( s <_ r /\ ( x ( ball ` C ) s ) = ( x ( ball ` D ) s ) ) -> J = K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   RR+crp 9719   *Metcxmet 14032   ballcbl 14034   MetOpencmopn 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by:  bdmopn  14672