Theorem fisseneq 7057

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	|- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Proof of Theorem fisseneq

Dummy variables w x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfii 6997	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
2	1	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
3		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w C_ x <-> (/) C_ x ) )
4		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w ~~ x <-> (/) ~~ x ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) ) )
6		eqeq1 2214	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w = x <-> (/) = x ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
8	7	albidv 1848	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
9		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w C_ x <-> y C_ x ) )
10		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w ~~ x <-> y ~~ x ) )
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( y C_ x /\ y ~~ x ) ) )
12		eqeq1 2214	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w = x <-> y = x ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
14	13	albidv 1848	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
15		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ x <-> ( y u. { z } ) C_ x ) )
16		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w ~~ x <-> ( y u. { z } ) ~~ x ) )
17	15, 16	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) )
18		eqeq1 2214	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = x <-> ( y u. { z } ) = x ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
20	19	albidv 1848	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
21		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w C_ x <-> A C_ x ) )
22		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w ~~ x <-> A ~~ x ) )
23	21, 22	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( A C_ x /\ A ~~ x ) ) )
24		eqeq1 2214	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w = x <-> A = x ) )
25	23, 24	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
26	25	albidv 1848	. . . 4 |- ( w = A -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
27		ensym 6896	. . . . . . . 8 |- ( (/) ~~ x -> x ~~ (/) )
28		en0 6910	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( (/) ~~ x -> x = (/) )
30	29	eqcomd 2213	. . . . . 6 |- ( (/) ~~ x -> (/) = x )
31	30	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
32	31	ax-gen 1473	. . . 4 |- A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
33		sseq2 3225	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y C_ x <-> y C_ a ) )
34		breq2 4063	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y ~~ x <-> y ~~ a ) )
35	33, 34	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) <-> ( y C_ a /\ y ~~ a ) ) )
36		eqeq2 2217	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( y = x <-> y = a ) )
37	35, 36	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) )
38	37	cbvalv 1942	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
39		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
40		difun2 3548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = ( y \ { z } )
41		difsn 3781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. z e. y -> ( y \ { z } ) = y )
42	41	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y \ { z } ) = y )
43	40, 42	eqtrid 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = y )
44		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) C_ x )
45	44	ssdifd 3317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) C_ ( x \ { z } ) )
46	43, 45	eqsstrrd 3238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y C_ ( x \ { z } ) )
47		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y e. Fin )
48		vex 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. _V )
50		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> -. z e. y )
51		unsnfi 7042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
52	47, 49, 50, 51	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
53		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ x )
54		vsnid 3675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. { z }
55		elun2 3349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. ( y u. { z } )
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
58	44, 57	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. x )
59	52, 53, 57, 58	dif1enen 7003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ~~ ( x \ { z } ) )
60	43, 59	eqbrtrrd 4083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y ~~ ( x \ { z } ) )
61	46, 60	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) )
62		vex 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
63		difexg 4201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x \ { z } ) e. _V )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x \ { z } ) e. _V
65		sseq2 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y C_ a <-> y C_ ( x \ { z } ) ) )
66		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y ~~ a <-> y ~~ ( x \ { z } ) ) )
67	65, 66	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) <-> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) ) )
68		eqeq2 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y = a <-> y = ( x \ { z } ) ) )
69	67, 68	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) <-> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) ) )
70	64, 69	spcv 2874	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) )
71	39, 61, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y = ( x \ { z } ) )
72	71	uneq1d 3334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = ( ( x \ { z } ) u. { z } ) )
73	53	ensymd 6898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x ~~ ( y u. { z } ) )
74		enfii 6997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y u. { z } ) e. Fin /\ x ~~ ( y u. { z } ) ) -> x e. Fin )
75	52, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x e. Fin )
76		fidifsnid 6994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Fin /\ z e. x ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
77	75, 58, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
78	72, 77	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = x )
79	78	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
80	79	alrimiv 1898	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
81	80	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
82	38, 81	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
83	8, 14, 20, 26, 32, 82	findcard2s 7013	. . 3 |- ( A e. Fin -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
84	2, 83	syl 14	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
85		3simpc 999	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A C_ B /\ A ~~ B ) )
86		sseq2 3225	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A C_ x <-> A C_ B ) )
87		breq2 4063	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ~~ x <-> A ~~ B ) )
88	86, 87	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) <-> ( A C_ B /\ A ~~ B ) ) )
89		eqeq2 2217	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
90	88, 89	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) <-> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
91	90	spcgv 2867	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
92	91	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
93	84, 85, 92	mp2d 47	1 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   class class class wbr 4059   ~~ cen 6848   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  phpeqd  7058  f1finf1o  7075  en1eqsn  7076