Theorem fisseneq 7242

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	|- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Proof of Theorem fisseneq

Dummy variables w x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfii 7176	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
2	1	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
3		sseq1 3271	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w C_ x <-> (/) C_ x ) )
4		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w ~~ x <-> (/) ~~ x ) )
5	3, 4	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) ) )
6		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w = x <-> (/) = x ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
8	7	albidv 1877	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
9		sseq1 3271	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w C_ x <-> y C_ x ) )
10		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w ~~ x <-> y ~~ x ) )
11	9, 10	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( y C_ x /\ y ~~ x ) ) )
12		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w = x <-> y = x ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
14	13	albidv 1877	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
15		sseq1 3271	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ x <-> ( y u. { z } ) C_ x ) )
16		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w ~~ x <-> ( y u. { z } ) ~~ x ) )
17	15, 16	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) )
18		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = x <-> ( y u. { z } ) = x ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
20	19	albidv 1877	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
21		sseq1 3271	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w C_ x <-> A C_ x ) )
22		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w ~~ x <-> A ~~ x ) )
23	21, 22	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( A C_ x /\ A ~~ x ) ) )
24		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w = x <-> A = x ) )
25	23, 24	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
26	25	albidv 1877	. . . 4 |- ( w = A -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
27		ensym 7068	. . . . . . . 8 |- ( (/) ~~ x -> x ~~ (/) )
28		en0 7082	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( (/) ~~ x -> x = (/) )
30	29	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( (/) ~~ x -> (/) = x )
31	30	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
32	31	ax-gen 1502	. . . 4 |- A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
33		sseq2 3272	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y C_ x <-> y C_ a ) )
34		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y ~~ x <-> y ~~ a ) )
35	33, 34	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) <-> ( y C_ a /\ y ~~ a ) ) )
36		eqeq2 2248	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( y = x <-> y = a ) )
37	35, 36	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) )
38	37	cbvalv 1973	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
39		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
40		difun2 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = ( y \ { z } )
41		difsn 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. z e. y -> ( y \ { z } ) = y )
42	41	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y \ { z } ) = y )
43	40, 42	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = y )
44		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) C_ x )
45	44	ssdifd 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) C_ ( x \ { z } ) )
46	43, 45	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y C_ ( x \ { z } ) )
47		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y e. Fin )
48		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. _V )
50		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> -. z e. y )
51		unsnfi 7226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
52	47, 49, 50, 51	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
53		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ x )
54		vsnid 3741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. { z }
55		elun2 3397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. ( y u. { z } )
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
58	44, 57	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. x )
59	52, 53, 57, 58	dif1enen 7184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ~~ ( x \ { z } ) )
60	43, 59	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y ~~ ( x \ { z } ) )
61	46, 60	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) )
62		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
63		difexg 4275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x \ { z } ) e. _V )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x \ { z } ) e. _V
65		sseq2 3272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y C_ a <-> y C_ ( x \ { z } ) ) )
66		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y ~~ a <-> y ~~ ( x \ { z } ) ) )
67	65, 66	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) <-> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) ) )
68		eqeq2 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y = a <-> y = ( x \ { z } ) ) )
69	67, 68	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) <-> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) ) )
70	64, 69	spcv 2919	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) )
71	39, 61, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y = ( x \ { z } ) )
72	71	uneq1d 3382	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = ( ( x \ { z } ) u. { z } ) )
73	53	ensymd 7070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x ~~ ( y u. { z } ) )
74		enfii 7176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y u. { z } ) e. Fin /\ x ~~ ( y u. { z } ) ) -> x e. Fin )
75	52, 73, 74	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x e. Fin )
76		fidifsnid 7173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Fin /\ z e. x ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
77	75, 58, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
78	72, 77	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = x )
79	78	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
80	79	alrimiv 1927	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
81	80	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
82	38, 81	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
83	8, 14, 20, 26, 32, 82	findcard2s 7194	. . 3 |- ( A e. Fin -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
84	2, 83	syl 14	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
85		3simpc 1027	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A C_ B /\ A ~~ B ) )
86		sseq2 3272	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A C_ x <-> A C_ B ) )
87		breq2 4134	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ~~ x <-> A ~~ B ) )
88	86, 87	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) <-> ( A C_ B /\ A ~~ B ) ) )
89		eqeq2 2248	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
90	88, 89	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) <-> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
91	90	spcgv 2912	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
92	91	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
93	84, 85, 92	mp2d 47	1 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   ~~ cen 7020   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  phpeqd  7243  f1finf1o  7264  en1eqsn  7265