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Theorem fisseneq 6621
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem fisseneq
Dummy variables  w  x  y  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enfii 6570 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
213adant2 962 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3045 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  x  <->  (/)  C_  x
) )
4 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  x  <->  (/)  ~~  x
) )
53, 4anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x )  <->  ( (/)  C_  x  /\  (/)  ~~  x )
) )
6 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  =  x  <->  (/)  =  x ) )
75, 6imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x )  ->  w  =  x )  <->  ( ( (/)  C_  x  /\  (/)  ~~  x
)  ->  (/)  =  x ) ) )
87albidv 1752 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x ( ( w 
C_  x  /\  w  ~~  x )  ->  w  =  x )  <->  A. x
( ( (/)  C_  x  /\  (/)  ~~  x )  -> 
(/)  =  x ) ) )
9 sseq1 3045 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  x  <->  y  C_  x ) )
10 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
w  ~~  x  <->  y  ~~  x ) )
119, 10anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  x  /\  w  ~~  x )  <-> 
( y  C_  x  /\  y  ~~  x ) ) )
12 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  =  x  <->  y  =  x ) )
1311, 12imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x
)  ->  w  =  x )  <->  ( (
y  C_  x  /\  y  ~~  x )  -> 
y  =  x ) ) )
1413albidv 1752 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x ( ( w 
C_  x  /\  w  ~~  x )  ->  w  =  x )  <->  A. x
( ( y  C_  x  /\  y  ~~  x
)  ->  y  =  x ) ) )
15 sseq1 3045 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  x 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  x ) )
16 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  ~~  x 
<->  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )
1715, 16anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  x  /\  w  ~~  x )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) ) )
18 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  =  x  <->  ( y  u. 
{ z } )  =  x ) )
1917, 18imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x )  ->  w  =  x )  <->  ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  x  /\  (
y  u.  { z } )  ~~  x
)  ->  ( y  u.  { z } )  =  x ) ) )
2019albidv 1752 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x
( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x
)  ->  w  =  x )  <->  A. x
( ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x )  ->  (
y  u.  { z } )  =  x ) ) )
21 sseq1 3045 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  x  <->  A  C_  x
) )
22 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
w  ~~  x  <->  A  ~~  x ) )
2321, 22anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  x  /\  w  ~~  x )  <-> 
( A  C_  x  /\  A  ~~  x ) ) )
24 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  =  x  <->  A  =  x ) )
2523, 24imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( w  C_  x  /\  w  ~~  x
)  ->  w  =  x )  <->  ( ( A  C_  x  /\  A  ~~  x )  ->  A  =  x ) ) )
2625albidv 1752 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x ( ( w 
C_  x  /\  w  ~~  x )  ->  w  =  x )  <->  A. x
( ( A  C_  x  /\  A  ~~  x
)  ->  A  =  x ) ) )
27 ensym 6478 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ~~  x  ->  x  ~~  (/) )
28 en0 6492 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  (/)  <->  x  =  (/) )
2927, 28sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~~  x  ->  x  =  (/) )
3029eqcomd 2093 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~~  x  ->  (/)  =  x )
3130adantl 271 . . . . 5  |-  ( (
(/)  C_  x  /\  (/)  ~~  x
)  ->  (/)  =  x )
3231ax-gen 1383 . . . 4  |-  A. x
( ( (/)  C_  x  /\  (/)  ~~  x )  -> 
(/)  =  x )
33 sseq2 3046 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  a ) )
34 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
y  ~~  x  <->  y  ~~  a ) )
3533, 34anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( y  C_  x  /\  y  ~~  x )  <-> 
( y  C_  a  /\  y  ~~  a ) ) )
36 eqeq2 2097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
y  =  x  <->  y  =  a ) )
3735, 36imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( y  C_  x  /\  y  ~~  x
)  ->  y  =  x )  <->  ( (
y  C_  a  /\  y  ~~  a )  -> 
y  =  a ) ) )
3837cbvalv 1842 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( y 
C_  x  /\  y  ~~  x )  ->  y  =  x )  <->  A. a
( ( y  C_  a  /\  y  ~~  a
)  ->  y  =  a ) )
39 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  ->  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )
40 difun2 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( y  \  {
z } )
41 difsn 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  \  {
z } )  =  y )
4241ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  \  {
z } )  =  y )
4340, 42syl5eq 2132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } )  =  y )
44 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  x )
4544ssdifd 3134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } )  C_  ( x  \  { z } ) )
4643, 45eqsstr3d 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
y  C_  ( x  \  { z } ) )
47 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
y  e.  Fin )
48 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
4948a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
z  e.  _V )
50 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  ->  -.  z  e.  y
)
51 unsnfi 6609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
5247, 49, 50, 51syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
53 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  ~~  x )
54 vsnid 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
{ z }
55 elun2 3166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
5756a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
z  e.  ( y  u.  { z } ) )
5844, 57sseldd 3024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
z  e.  x )
5952, 53, 57, 58dif1enen 6576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } )  ~~  ( x 
\  { z } ) )
6043, 59eqbrtrrd 3859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
y  ~~  ( x  \  { z } ) )
6146, 60jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  C_  (
x  \  { z } )  /\  y  ~~  ( x  \  {
z } ) ) )
62 vex 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
63 difexg 3972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { z } )  e.  _V )
6462, 63ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
\  { z } )  e.  _V
65 sseq2 3046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  \  { z } )  ->  ( y  C_  a 
<->  y  C_  ( x  \  { z } ) ) )
66 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  \  { z } )  ->  ( y  ~~  a 
<->  y  ~~  ( x 
\  { z } ) ) )
6765, 66anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  \  { z } )  ->  ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  <->  ( y  C_  ( x  \  {
z } )  /\  y  ~~  ( x  \  { z } ) ) ) )
68 eqeq2 2097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  \  { z } )  ->  ( y  =  a  <->  y  =  ( x  \  { z } ) ) )
6967, 68imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  \  { z } )  ->  ( ( ( y  C_  a  /\  y  ~~  a )  -> 
y  =  a )  <-> 
( ( y  C_  ( x  \  { z } )  /\  y  ~~  ( x  \  {
z } ) )  ->  y  =  ( x  \  { z } ) ) ) )
7064, 69spcv 2712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a )  -> 
( ( y  C_  ( x  \  { z } )  /\  y  ~~  ( x  \  {
z } ) )  ->  y  =  ( x  \  { z } ) ) )
7139, 61, 70sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
y  =  ( x 
\  { z } ) )
7271uneq1d 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( ( x  \  { z } )  u.  { z } ) )
7353ensymd 6480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  ->  x  ~~  ( y  u. 
{ z } ) )
74 enfii 6570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  x  ~~  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  Fin )
7552, 73, 74syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  ->  x  e.  Fin )
76 fidifsnid 6567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  z  e.  x )  ->  ( ( x  \  { z } )  u.  { z } )  =  x )
7775, 58, 76syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( ( x  \  { z } )  u.  { z } )  =  x )
7872, 77eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a ) )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  x )
7978ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. a
( ( y  C_  a  /\  y  ~~  a
)  ->  y  =  a ) )  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x )  ->  (
y  u.  { z } )  =  x ) )
8079alrimiv 1802 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  A. a
( ( y  C_  a  /\  y  ~~  a
)  ->  y  =  a ) )  ->  A. x ( ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x )  ->  (
y  u.  { z } )  =  x ) )
8180ex 113 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. a ( ( y 
C_  a  /\  y  ~~  a )  ->  y  =  a )  ->  A. x ( ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x )  ->  (
y  u.  { z } )  =  x ) ) )
8238, 81syl5bi 150 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. x ( ( y 
C_  x  /\  y  ~~  x )  ->  y  =  x )  ->  A. x
( ( ( y  u.  { z } )  C_  x  /\  ( y  u.  {
z } )  ~~  x )  ->  (
y  u.  { z } )  =  x ) ) )
838, 14, 20, 26, 32, 82findcard2s 6586 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x
( ( A  C_  x  /\  A  ~~  x
)  ->  A  =  x ) )
842, 83syl 14 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A. x
( ( A  C_  x  /\  A  ~~  x
)  ->  A  =  x ) )
85 3simpc 942 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  ( A  C_  B  /\  A  ~~  B ) )
86 sseq2 3046 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  B
) )
87 breq2 3841 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ~~  x  <->  A  ~~  B ) )
8886, 87anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  C_  x  /\  A  ~~  x )  <-> 
( A  C_  B  /\  A  ~~  B ) ) )
89 eqeq2 2097 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  =  x  <->  A  =  B ) )
9088, 89imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( A  C_  x  /\  A  ~~  x
)  ->  A  =  x )  <->  ( ( A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B ) ) )
9190spcgv 2706 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A. x ( ( A 
C_  x  /\  A  ~~  x )  ->  A  =  x )  ->  (
( A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B ) ) )
92913ad2ant1 964 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  ( A. x ( ( A 
C_  x  /\  A  ~~  x )  ->  A  =  x )  ->  (
( A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B ) ) )
9384, 85, 92mp2d 46 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   class class class wbr 3837    ~~ cen 6435   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  f1finf1o  6635  en1eqsn  6636
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