Theorem fisseneq 6909

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	|- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Proof of Theorem fisseneq

Dummy variables w x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfii 6852	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
2	1	3adant2 1011	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A e. Fin )
3		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w C_ x <-> (/) C_ x ) )
4		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( w ~~ x <-> (/) ~~ x ) )
5	3, 4	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) ) )
6		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w = x <-> (/) = x ) )
7	5, 6	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
8	7	albidv 1817	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x ) ) )
9		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w C_ x <-> y C_ x ) )
10		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w ~~ x <-> y ~~ x ) )
11	9, 10	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( y C_ x /\ y ~~ x ) ) )
12		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w = x <-> y = x ) )
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
14	13	albidv 1817	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) ) )
15		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ x <-> ( y u. { z } ) C_ x ) )
16		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w ~~ x <-> ( y u. { z } ) ~~ x ) )
17	15, 16	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) )
18		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = x <-> ( y u. { z } ) = x ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
20	19	albidv 1817	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
21		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w C_ x <-> A C_ x ) )
22		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( w ~~ x <-> A ~~ x ) )
23	21, 22	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) <-> ( A C_ x /\ A ~~ x ) ) )
24		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w = x <-> A = x ) )
25	23, 24	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
26	25	albidv 1817	. . . 4 |- ( w = A -> ( A. x ( ( w C_ x /\ w ~~ x ) -> w = x ) <-> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) ) )
27		ensym 6759	. . . . . . . 8 |- ( (/) ~~ x -> x ~~ (/) )
28		en0 6773	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
29	27, 28	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( (/) ~~ x -> x = (/) )
30	29	eqcomd 2176	. . . . . 6 |- ( (/) ~~ x -> (/) = x )
31	30	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
32	31	ax-gen 1442	. . . 4 |- A. x ( ( (/) C_ x /\ (/) ~~ x ) -> (/) = x )
33		sseq2 3171	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y C_ x <-> y C_ a ) )
34		breq2 3993	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( y ~~ x <-> y ~~ a ) )
35	33, 34	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) <-> ( y C_ a /\ y ~~ a ) ) )
36		eqeq2 2180	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( y = x <-> y = a ) )
37	35, 36	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) )
38	37	cbvalv 1910	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) <-> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
39		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) )
40		difun2 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = ( y \ { z } )
41		difsn 3717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. z e. y -> ( y \ { z } ) = y )
42	41	ad3antlr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y \ { z } ) = y )
43	40, 42	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) = y )
44		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) C_ x )
45	44	ssdifd 3263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) C_ ( x \ { z } ) )
46	43, 45	eqsstrrd 3184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y C_ ( x \ { z } ) )
47		simplll 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y e. Fin )
48		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. _V )
50		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> -. z e. y )
51		unsnfi 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
52	47, 49, 50, 51	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
53		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ x )
54		vsnid 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. { z }
55		elun2 3295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. ( y u. { z } )
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. ( y u. { z } ) )
58	44, 57	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> z e. x )
59	52, 53, 57, 58	dif1enen 6858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( y u. { z } ) \ { z } ) ~~ ( x \ { z } ) )
60	43, 59	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y ~~ ( x \ { z } ) )
61	46, 60	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) )
62		vex 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
63		difexg 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( x \ { z } ) e. _V )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x \ { z } ) e. _V
65		sseq2 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y C_ a <-> y C_ ( x \ { z } ) ) )
66		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y ~~ a <-> y ~~ ( x \ { z } ) ) )
67	65, 66	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) <-> ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) ) )
68		eqeq2 2180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( y = a <-> y = ( x \ { z } ) ) )
69	67, 68	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x \ { z } ) -> ( ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) <-> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) ) )
70	64, 69	spcv 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> ( ( y C_ ( x \ { z } ) /\ y ~~ ( x \ { z } ) ) -> y = ( x \ { z } ) ) )
71	39, 61, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> y = ( x \ { z } ) )
72	71	uneq1d 3280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = ( ( x \ { z } ) u. { z } ) )
73	53	ensymd 6761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x ~~ ( y u. { z } ) )
74		enfii 6852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y u. { z } ) e. Fin /\ x ~~ ( y u. { z } ) ) -> x e. Fin )
75	52, 73, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> x e. Fin )
76		fidifsnid 6849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Fin /\ z e. x ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
77	75, 58, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( ( x \ { z } ) u. { z } ) = x )
78	72, 77	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) ) -> ( y u. { z } ) = x )
79	78	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
80	79	alrimiv 1867	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) )
81	80	ex 114	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. a ( ( y C_ a /\ y ~~ a ) -> y = a ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
82	38, 81	syl5bi 151	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. x ( ( y C_ x /\ y ~~ x ) -> y = x ) -> A. x ( ( ( y u. { z } ) C_ x /\ ( y u. { z } ) ~~ x ) -> ( y u. { z } ) = x ) ) )
83	8, 14, 20, 26, 32, 82	findcard2s 6868	. . 3 |- ( A e. Fin -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
84	2, 83	syl 14	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) )
85		3simpc 991	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A C_ B /\ A ~~ B ) )
86		sseq2 3171	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A C_ x <-> A C_ B ) )
87		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ~~ x <-> A ~~ B ) )
88	86, 87	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) <-> ( A C_ B /\ A ~~ B ) ) )
89		eqeq2 2180	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
90	88, 89	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) <-> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
91	90	spcgv 2817	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
92	91	3ad2ant1 1013	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> ( A. x ( ( A C_ x /\ A ~~ x ) -> A = x ) -> ( ( A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B ) ) )
93	84, 85, 92	mp2d 47	1 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   ~~ cen 6716   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  phpeqd  6910  f1finf1o  6924  en1eqsn  6925