Theorem lspsnneg 14694

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnneg.m	|- M = ( invg ` W )
lspsnneg.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 |- M = ( invg ` W )
3		eqid 2234	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
4		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14604	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( M ` X ) )
8	7	sneqd 3707	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } = { ( M ` X ) } )
9	8	fveq2d 5679	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) = ( N ` { ( M ` X ) } ) )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
11	3	lmodfgrp 14570	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
12		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
13	3, 12, 5	lmod1cl 14589	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
14	12, 6	grpinvcl 13803	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
18		lspsnneg.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14692	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
21	9, 20	eqsstrrd 3279	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
22	1, 2	lmodvnegcl 14602	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` X ) e. V )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14604	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
25		lmodgrp 14568	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
26	1, 2	grpinvinv 13822	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
28	24, 27	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = X )
29	28	sneqd 3707	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5679	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14692	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
33	30, 32	eqsstrrd 3279	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
34	21, 33	eqssd 3259	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   {csn 3694   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296  Scalarcsca 13377   .scvsca 13378   Grpcgrp 13755   invgcminusg 13756   1rcur 14202   LModclmod 14561   LSpanclspn 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241  df-lmod 14563  df-lssm 14627  df-lsp 14661

This theorem is referenced by:  lspsnsub  14695  lmodindp1  14702