Theorem lspsnneg 14424

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnneg.m	|- M = ( invg ` W )
lspsnneg.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 |- M = ( invg ` W )
3		eqid 2229	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14334	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( M ` X ) )
8	7	sneqd 3680	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } = { ( M ` X ) } )
9	8	fveq2d 5639	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) = ( N ` { ( M ` X ) } ) )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
11	3	lmodfgrp 14300	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
12		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
13	3, 12, 5	lmod1cl 14319	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
14	12, 6	grpinvcl 13621	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
18		lspsnneg.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14422	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
21	9, 20	eqsstrrd 3262	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
22	1, 2	lmodvnegcl 14332	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` X ) e. V )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14334	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
25		lmodgrp 14298	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
26	1, 2	grpinvinv 13640	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
28	24, 27	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = X )
29	28	sneqd 3680	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5639	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14422	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
33	30, 32	eqsstrrd 3262	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
34	21, 33	eqssd 3242	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   {csn 3667   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072  Scalarcsca 13153   .scvsca 13154   Grpcgrp 13573   invgcminusg 13574   1rcur 13962   LModclmod 14291   LSpanclspn 14390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-lmod 14293  df-lssm 14357  df-lsp 14391

This theorem is referenced by:  lspsnsub  14425  lmodindp1  14432