Theorem lspsnneg 14453

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnneg.m	|- M = ( invg ` W )
lspsnneg.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 |- M = ( invg ` W )
3		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
4		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14363	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( M ` X ) )
8	7	sneqd 3682	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } = { ( M ` X ) } )
9	8	fveq2d 5643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) = ( N ` { ( M ` X ) } ) )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
11	3	lmodfgrp 14329	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
12		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
13	3, 12, 5	lmod1cl 14348	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
14	12, 6	grpinvcl 13649	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
18		lspsnneg.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14451	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
21	9, 20	eqsstrrd 3264	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
22	1, 2	lmodvnegcl 14361	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` X ) e. V )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14363	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
25		lmodgrp 14327	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
26	1, 2	grpinvinv 13668	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
28	24, 27	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = X )
29	28	sneqd 3682	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 5643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14451	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
33	30, 32	eqsstrrd 3264	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
34	21, 33	eqssd 3244	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {csn 3669   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100  Scalarcsca 13181   .scvsca 13182   Grpcgrp 13601   invgcminusg 13602   1rcur 13991   LModclmod 14320   LSpanclspn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-sbg 13606  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-lmod 14322  df-lssm 14386  df-lsp 14420

This theorem is referenced by:  lspsnsub  14454  lmodindp1  14461