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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > phplem4dom | Unicode version |
Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.) |
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phplem4dom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | peano2 4612 |
. . . . . 6
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2 | 1 | adantl 277 |
. . . . 5
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3 | brdomg 6773 |
. . . . 5
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4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . 4
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5 | 4 | biimpa 296 |
. . 3
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6 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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7 | 2 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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8 | sssucid 4433 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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10 | simplll 533 |
. . . . . . 7
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11 | f1imaen2g 6818 |
. . . . . . 7
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12 | 6, 7, 9, 10, 11 | syl22anc 1250 |
. . . . . 6
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13 | 12 | ensymd 6808 |
. . . . 5
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14 | difexg 4159 |
. . . . . . 7
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15 | 7, 14 | syl 14 |
. . . . . 6
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16 | nnord 4629 |
. . . . . . . . . 10
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17 | orddif 4564 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | imaeq2d 4988 |
. . . . . . . 8
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20 | 10, 19 | syl 14 |
. . . . . . 7
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21 | f1fn 5442 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | sucidg 4434 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 10, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | fnsnfv 5595 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | difeq2d 3268 |
. . . . . . . . 9
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28 | df-f1 5240 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | imadif 5315 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 29, 30 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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33 | 27, 32 | eqtr4d 2225 |
. . . . . . . 8
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34 | f1f 5440 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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36 | imassrn 4999 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | frn 5393 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 36, 37 | sstrid 3181 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 35, 38 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | ssdifd 3286 |
. . . . . . . 8
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41 | 33, 40 | eqsstrrd 3207 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 41 | eqsstrd 3206 |
. . . . . 6
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43 | ssdomg 6803 |
. . . . . 6
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44 | 15, 42, 43 | sylc 62 |
. . . . 5
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45 | endomtr 6815 |
. . . . 5
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46 | 13, 44, 45 | syl2anc 411 |
. . . 4
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47 | simpllr 534 |
. . . . . 6
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48 | 35, 24 | ffvelcdmd 5672 |
. . . . . 6
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49 | phplem3g 6883 |
. . . . . 6
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50 | 47, 48, 49 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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51 | 50 | ensymd 6808 |
. . . 4
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52 | domentr 6816 |
. . . 4
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53 | 46, 51, 52 | syl2anc 411 |
. . 3
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54 | 5, 53 | exlimddv 1910 |
. 2
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55 | 54 | ex 115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-tr 4117 df-id 4311 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-er 6558 df-en 6766 df-dom 6767 |
This theorem is referenced by: php5dom 6890 |
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