Theorem phplem4dom 6749

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4504	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc B e. om )
2	1	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> suc B e. om )
3		brdomg 6635	. . . . 5 |- ( suc B e. om -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
5	4	biimpa 294	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> E. f f : suc A -1-1-> suc B )
6		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A -1-1-> suc B )
7	2	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> suc B e. om )
8		sssucid 4332	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A C_ suc A )
10		simplll 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. om )
11		f1imaen2g 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : suc A -1-1-> suc B /\ suc B e. om ) /\ ( A C_ suc A /\ A e. om ) ) -> ( f " A ) ~~ A )
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~~ A )
13	12	ensymd 6670	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~~ ( f " A ) )
14		difexg 4064	. . . . . . 7 |- ( suc B e. om -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
16		nnord 4520	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> Ord A )
17		orddif 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
19	18	imaeq2d 4876	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
21		f1fn 5325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f Fn suc A )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f Fn suc A )
23		sucidg 4333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> A e. suc A )
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. suc A )
25		fnsnfv 5473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn suc A /\ A e. suc A ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
27	26	difeq2d 3189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
28		df-f1 5123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B <-> ( f : suc A --> suc B /\ Fun `' f ) )
29	28	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> Fun `' f )
30		imadif 5198	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun `' f -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
32	31	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
33	27, 32	eqtr4d 2173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
34		f1f 5323	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f : suc A --> suc B )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A --> suc B )
36		imassrn 4887	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " suc A ) C_ ran f
37		frn 5276	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A --> suc B -> ran f C_ suc B )
38	36, 37	sstrid 3103	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A --> suc B -> ( f " suc A ) C_ suc B )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " suc A ) C_ suc B )
40	39	ssdifd 3207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
41	33, 40	eqsstrrd 3129	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
42	20, 41	eqsstrd 3128	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
43		ssdomg 6665	. . . . . 6 |- ( ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V -> ( ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) )
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
45		endomtr 6677	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( f " A ) /\ ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
46	13, 44, 45	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
47		simpllr 523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B e. om )
48	35, 24	ffvelrnd 5549	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f ` A ) e. suc B )
49		phplem3g 6743	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ ( f ` A ) e. suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
51	50	ensymd 6670	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B )
52		domentr 6678	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) /\ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B ) -> A ~<_ B )
53	46, 51, 52	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ B )
54	5, 53	exlimddv 1870	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> A ~<_ B )
55	54	ex 114	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   \ cdif 3063   C_ wss 3066   {csn 3522   class class class wbr 3924   Ord word 4279   suc csuc 4282   omcom 4499   `'ccnv 4533   ran crn 4535   "cima 4537   Fun wfun 5112   Fn wfn 5113   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   ` cfv 5118   ~~ cen 6625   ~<_ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629

This theorem is referenced by:  php5dom  6750