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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > phplem4dom | Unicode version |
Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.) |
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phplem4dom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | peano2 4447 |
. . . . . 6
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2 | 1 | adantl 273 |
. . . . 5
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3 | brdomg 6572 |
. . . . 5
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4 | 2, 3 | syl 14 |
. . . 4
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5 | 4 | biimpa 292 |
. . 3
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6 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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7 | 2 | ad2antrr 475 |
. . . . . . 7
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8 | sssucid 4275 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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10 | simplll 503 |
. . . . . . 7
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11 | f1imaen2g 6617 |
. . . . . . 7
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12 | 6, 7, 9, 10, 11 | syl22anc 1185 |
. . . . . 6
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13 | 12 | ensymd 6607 |
. . . . 5
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14 | difexg 4009 |
. . . . . . 7
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15 | 7, 14 | syl 14 |
. . . . . 6
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16 | nnord 4463 |
. . . . . . . . . 10
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17 | orddif 4400 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | imaeq2d 4817 |
. . . . . . . 8
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20 | 10, 19 | syl 14 |
. . . . . . 7
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21 | f1fn 5266 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | adantl 273 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | sucidg 4276 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 10, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | fnsnfv 5412 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 406 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | difeq2d 3141 |
. . . . . . . . 9
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28 | df-f1 5064 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | simprbi 271 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | imadif 5139 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 29, 30 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | adantl 273 |
. . . . . . . . 9
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33 | 27, 32 | eqtr4d 2135 |
. . . . . . . 8
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34 | f1f 5264 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | adantl 273 |
. . . . . . . . . 10
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36 | imassrn 4828 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | frn 5217 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 36, 37 | syl5ss 3058 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 35, 38 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | ssdifd 3159 |
. . . . . . . 8
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41 | 33, 40 | eqsstr3d 3084 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 41 | eqsstrd 3083 |
. . . . . 6
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43 | ssdomg 6602 |
. . . . . 6
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44 | 15, 42, 43 | sylc 62 |
. . . . 5
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45 | endomtr 6614 |
. . . . 5
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46 | 13, 44, 45 | syl2anc 406 |
. . . 4
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47 | simpllr 504 |
. . . . . 6
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48 | 35, 24 | ffvelrnd 5488 |
. . . . . 6
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49 | phplem3g 6679 |
. . . . . 6
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50 | 47, 48, 49 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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51 | 50 | ensymd 6607 |
. . . 4
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52 | domentr 6615 |
. . . 4
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53 | 46, 51, 52 | syl2anc 406 |
. . 3
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54 | 5, 53 | exlimddv 1837 |
. 2
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55 | 54 | ex 114 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-br 3876 df-opab 3930 df-tr 3967 df-id 4153 df-iord 4226 df-on 4228 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-er 6359 df-en 6565 df-dom 6566 |
This theorem is referenced by: php5dom 6686 |
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