Theorem phplem4dom 7129

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4722	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc B e. om )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> suc B e. om )
3		brdomg 6998	. . . . 5 |- ( suc B e. om -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
5	4	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> E. f f : suc A -1-1-> suc B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A -1-1-> suc B )
7	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> suc B e. om )
8		sssucid 4541	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A C_ suc A )
10		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. om )
11		f1imaen2g 7046	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : suc A -1-1-> suc B /\ suc B e. om ) /\ ( A C_ suc A /\ A e. om ) ) -> ( f " A ) ~~ A )
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~~ A )
13	12	ensymd 7036	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~~ ( f " A ) )
14		difexg 4257	. . . . . . 7 |- ( suc B e. om -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
16		nnord 4739	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> Ord A )
17		orddif 4674	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
19	18	imaeq2d 5106	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
21		f1fn 5580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f Fn suc A )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f Fn suc A )
23		sucidg 4542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> A e. suc A )
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. suc A )
25		fnsnfv 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn suc A /\ A e. suc A ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
27	26	difeq2d 3341	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
28		df-f1 5362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B <-> ( f : suc A --> suc B /\ Fun `' f ) )
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> Fun `' f )
30		imadif 5441	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun `' f -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
33	27, 32	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
34		f1f 5578	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f : suc A --> suc B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A --> suc B )
36		imassrn 5117	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " suc A ) C_ ran f
37		frn 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A --> suc B -> ran f C_ suc B )
38	36, 37	sstrid 3253	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A --> suc B -> ( f " suc A ) C_ suc B )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " suc A ) C_ suc B )
40	39	ssdifd 3359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
41	33, 40	eqsstrrd 3279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
42	20, 41	eqsstrd 3278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
43		ssdomg 7031	. . . . . 6 |- ( ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V -> ( ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) )
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
45		endomtr 7043	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( f " A ) /\ ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
46	13, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
47		simpllr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B e. om )
48	35, 24	ffvelcdmd 5818	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f ` A ) e. suc B )
49		phplem3g 7123	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ ( f ` A ) e. suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
51	50	ensymd 7036	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B )
52		domentr 7044	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) /\ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B ) -> A ~<_ B )
53	46, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ B )
54	5, 53	exlimddv 1950	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> A ~<_ B )
55	54	ex 115	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   C_ wss 3214   {csn 3694   class class class wbr 4114   Ord word 4488   suc csuc 4491   omcom 4717   `'ccnv 4753   ran crn 4755   "cima 4757   Fun wfun 5351   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   ` cfv 5357   ~~ cen 6986   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  php5dom  7130