Theorem phplem4dom 6889

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4612	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc B e. om )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> suc B e. om )
3		brdomg 6773	. . . . 5 |- ( suc B e. om -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
5	4	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> E. f f : suc A -1-1-> suc B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A -1-1-> suc B )
7	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> suc B e. om )
8		sssucid 4433	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A C_ suc A )
10		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. om )
11		f1imaen2g 6818	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : suc A -1-1-> suc B /\ suc B e. om ) /\ ( A C_ suc A /\ A e. om ) ) -> ( f " A ) ~~ A )
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~~ A )
13	12	ensymd 6808	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~~ ( f " A ) )
14		difexg 4159	. . . . . . 7 |- ( suc B e. om -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
16		nnord 4629	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> Ord A )
17		orddif 4564	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
19	18	imaeq2d 4988	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
21		f1fn 5442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f Fn suc A )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f Fn suc A )
23		sucidg 4434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> A e. suc A )
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. suc A )
25		fnsnfv 5595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn suc A /\ A e. suc A ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
27	26	difeq2d 3268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
28		df-f1 5240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B <-> ( f : suc A --> suc B /\ Fun `' f ) )
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> Fun `' f )
30		imadif 5315	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun `' f -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
33	27, 32	eqtr4d 2225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
34		f1f 5440	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f : suc A --> suc B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A --> suc B )
36		imassrn 4999	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " suc A ) C_ ran f
37		frn 5393	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A --> suc B -> ran f C_ suc B )
38	36, 37	sstrid 3181	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A --> suc B -> ( f " suc A ) C_ suc B )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " suc A ) C_ suc B )
40	39	ssdifd 3286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
41	33, 40	eqsstrrd 3207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
42	20, 41	eqsstrd 3206	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
43		ssdomg 6803	. . . . . 6 |- ( ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V -> ( ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) )
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
45		endomtr 6815	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( f " A ) /\ ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
46	13, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
47		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B e. om )
48	35, 24	ffvelcdmd 5672	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f ` A ) e. suc B )
49		phplem3g 6883	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ ( f ` A ) e. suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
51	50	ensymd 6808	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B )
52		domentr 6816	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) /\ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B ) -> A ~<_ B )
53	46, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ B )
54	5, 53	exlimddv 1910	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> A ~<_ B )
55	54	ex 115	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   C_ wss 3144   {csn 3607   class class class wbr 4018   Ord word 4380   suc csuc 4383   omcom 4607   `'ccnv 4643   ran crn 4645   "cima 4647   Fun wfun 5229   Fn wfn 5230   -->wf 5231   -1-1->wf1 5232   ` cfv 5235   ~~ cen 6763   ~<_ cdom 6764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6558  df-en 6766  df-dom 6767

This theorem is referenced by:  php5dom  6890