Theorem phplem4dom 6685

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4447	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc B e. om )
2	1	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> suc B e. om )
3		brdomg 6572	. . . . 5 |- ( suc B e. om -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
5	4	biimpa 292	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> E. f f : suc A -1-1-> suc B )
6		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A -1-1-> suc B )
7	2	ad2antrr 475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> suc B e. om )
8		sssucid 4275	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A C_ suc A )
10		simplll 503	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. om )
11		f1imaen2g 6617	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : suc A -1-1-> suc B /\ suc B e. om ) /\ ( A C_ suc A /\ A e. om ) ) -> ( f " A ) ~~ A )
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1185	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~~ A )
13	12	ensymd 6607	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~~ ( f " A ) )
14		difexg 4009	. . . . . . 7 |- ( suc B e. om -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
16		nnord 4463	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> Ord A )
17		orddif 4400	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
19	18	imaeq2d 4817	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
21		f1fn 5266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f Fn suc A )
22	21	adantl 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f Fn suc A )
23		sucidg 4276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> A e. suc A )
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. suc A )
25		fnsnfv 5412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn suc A /\ A e. suc A ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
27	26	difeq2d 3141	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
28		df-f1 5064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B <-> ( f : suc A --> suc B /\ Fun `' f ) )
29	28	simprbi 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> Fun `' f )
30		imadif 5139	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun `' f -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
32	31	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
33	27, 32	eqtr4d 2135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
34		f1f 5264	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f : suc A --> suc B )
35	34	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A --> suc B )
36		imassrn 4828	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " suc A ) C_ ran f
37		frn 5217	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A --> suc B -> ran f C_ suc B )
38	36, 37	syl5ss 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A --> suc B -> ( f " suc A ) C_ suc B )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " suc A ) C_ suc B )
40	39	ssdifd 3159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
41	33, 40	eqsstr3d 3084	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
42	20, 41	eqsstrd 3083	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
43		ssdomg 6602	. . . . . 6 |- ( ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V -> ( ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) )
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
45		endomtr 6614	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( f " A ) /\ ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
46	13, 44, 45	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
47		simpllr 504	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B e. om )
48	35, 24	ffvelrnd 5488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f ` A ) e. suc B )
49		phplem3g 6679	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ ( f ` A ) e. suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
51	50	ensymd 6607	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B )
52		domentr 6615	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) /\ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B ) -> A ~<_ B )
53	46, 51, 52	syl2anc 406	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ B )
54	5, 53	exlimddv 1837	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> A ~<_ B )
55	54	ex 114	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   \ cdif 3018   C_ wss 3021   {csn 3474   class class class wbr 3875   Ord word 4222   suc csuc 4225   omcom 4442   `'ccnv 4476   ran crn 4478   "cima 4480   Fun wfun 5053   Fn wfn 5054   -->wf 5055   -1-1->wf1 5056   ` cfv 5059   ~~ cen 6562   ~<_ cdom 6563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566

This theorem is referenced by:  php5dom  6686