Theorem phplem4dom 6856

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4591	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc B e. om )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> suc B e. om )
3		brdomg 6742	. . . . 5 |- ( suc B e. om -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B <-> E. f f : suc A -1-1-> suc B ) )
5	4	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> E. f f : suc A -1-1-> suc B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A -1-1-> suc B )
7	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> suc B e. om )
8		sssucid 4412	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A C_ suc A )
10		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. om )
11		f1imaen2g 6787	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : suc A -1-1-> suc B /\ suc B e. om ) /\ ( A C_ suc A /\ A e. om ) ) -> ( f " A ) ~~ A )
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~~ A )
13	12	ensymd 6777	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~~ ( f " A ) )
14		difexg 4141	. . . . . . 7 |- ( suc B e. om -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V )
16		nnord 4608	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> Ord A )
17		orddif 4543	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
19	18	imaeq2d 4966	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
21		f1fn 5419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f Fn suc A )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f Fn suc A )
23		sucidg 4413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> A e. suc A )
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A e. suc A )
25		fnsnfv 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn suc A /\ A e. suc A ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> { ( f ` A ) } = ( f " { A } ) )
27	26	difeq2d 3253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
28		df-f1 5217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : suc A -1-1-> suc B <-> ( f : suc A --> suc B /\ Fun `' f ) )
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> Fun `' f )
30		imadif 5292	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun `' f -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) = ( ( f " suc A ) \ ( f " { A } ) ) )
33	27, 32	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) = ( f " ( suc A \ { A } ) ) )
34		f1f 5417	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A -1-1-> suc B -> f : suc A --> suc B )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> f : suc A --> suc B )
36		imassrn 4977	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " suc A ) C_ ran f
37		frn 5370	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : suc A --> suc B -> ran f C_ suc B )
38	36, 37	sstrid 3166	. . . . . . . . . 10 |- ( f : suc A --> suc B -> ( f " suc A ) C_ suc B )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " suc A ) C_ suc B )
40	39	ssdifd 3271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( ( f " suc A ) \ { ( f ` A ) } ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
41	33, 40	eqsstrrd 3192	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " ( suc A \ { A } ) ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
42	20, 41	eqsstrd 3191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
43		ssdomg 6772	. . . . . 6 |- ( ( suc B \ { ( f ` A ) } ) e. _V -> ( ( f " A ) C_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) )
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
45		endomtr 6784	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( f " A ) /\ ( f " A ) ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
46	13, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
47		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B e. om )
48	35, 24	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( f ` A ) e. suc B )
49		phplem3g 6850	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ ( f ` A ) e. suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> B ~~ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) )
51	50	ensymd 6777	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B )
52		domentr 6785	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) /\ ( suc B \ { ( f ` A ) } ) ~~ B ) -> A ~<_ B )
53	46, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) /\ f : suc A -1-1-> suc B ) -> A ~<_ B )
54	5, 53	exlimddv 1898	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ suc A ~<_ suc B ) -> A ~<_ B )
55	54	ex 115	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A ~<_ suc B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   \ cdif 3126   C_ wss 3129   {csn 3591   class class class wbr 4000   Ord word 4359   suc csuc 4362   omcom 4586   `'ccnv 4622   ran crn 4624   "cima 4626   Fun wfun 5206   Fn wfn 5207   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   ` cfv 5212   ~~ cen 6732   ~<_ cdom 6733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736

This theorem is referenced by:  php5dom  6857