ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oaword1 Unicode version

Theorem oaword1 6360
Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaword1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A  C_  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oaword1
StepHypRef Expression
1 oa0 6346 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
21adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
3 0ss 3396 . . 3  |-  (/)  C_  B
4 0elon 4309 . . . 4  |-  (/)  e.  On
5 oawordi 6358 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B ) ) )
653com13 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  (/)  e.  On )  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B
) ) )
74, 6mp3an3 1304 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B
) ) )
83, 7mpi 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( A  +o  B
) )
92, 8eqsstrrd 3129 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A  C_  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3066   (/)c0 3358   Oncon0 4280  (class class class)co 5767    +o coa 6303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310
This theorem is referenced by:  omsuc  6361  nnaword1  6402
  Copyright terms: Public domain W3C validator