Theorem oaword1 6500

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 6486	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) = A )
3		0ss 3476	. . 3 |- (/) C_ B
4		0elon 4413	. . . 4 |- (/) e. On
5		oawordi 6498	. . . . 5 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On /\ A e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
6	5	3com13 1210	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
7	4, 6	mp3an3 1337	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
8	3, 7	mpi 15	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) )
9	2, 8	eqsstrrd 3207	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   (/)c0 3437   Oncon0 4384  (class class class)co 5900   +o coa 6442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-oadd 6449

This theorem is referenced by:  omsuc  6501  nnaword1  6542