Theorem oaword1 6738

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 6724	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) = A )
3		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ B
4		0elon 4535	. . . 4 |- (/) e. On
5		oawordi 6736	. . . . 5 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On /\ A e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
6	5	3com13 1239	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
7	4, 6	mp3an3 1367	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
8	3, 7	mpi 15	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) )
9	2, 8	eqsstrrd 3285	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   Oncon0 4506  (class class class)co 6079   +o coa 6678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685

This theorem is used by:  omsuc  6739  nnaword1  6780