Theorem oaword1 6529

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 6515	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) = A )
3		0ss 3489	. . 3 |- (/) C_ B
4		0elon 4427	. . . 4 |- (/) e. On
5		oawordi 6527	. . . . 5 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On /\ A e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
6	5	3com13 1210	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
7	4, 6	mp3an3 1337	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) ) )
8	3, 7	mpi 15	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) C_ ( A +o B ) )
9	2, 8	eqsstrrd 3220	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A C_ ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   (/)c0 3450   Oncon0 4398  (class class class)co 5922   +o coa 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478

This theorem is referenced by:  omsuc  6530  nnaword1  6571