Theorem ensymd 7074

Description: Symmetry of equinumerosity. Deduction form of ensym 7072. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensymd.1	|- ( ph -> A ~~ B )

Assertion

Ref	Expression
ensymd	|- ( ph -> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymd.1	. 2 |- ( ph -> A ~~ B )
2		ensym 7072	. 2 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> B ~~ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   class class class wbr 4131   ~~ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-er 6811  df-en 7027

This theorem is used by:  f1imaeng  7083  f1imaen2g  7084  en2sn  7106  xpdom3m  7136  phplem4  7160  phplem4dom  7167  php5dom  7168  phpm  7171  phplem4on  7173  dif1en  7187  dif1enen  7188  fisbth  7191  fin0  7193  fin0or  7194  fidcen  7207  fientri3  7226  unsnfidcex  7231  unsnfidcel  7232  fiintim  7242  fisseneq  7246  f1ofi  7261  fipwfi  7327  endjusym  7442  eninl  7443  eninr  7444  pm54.43  7542  djuen  7573  dju1en  7575  djuassen  7579  xpdjuen  7580  uzenom  10883  hashennnuni  11240  hashennn  11241  hashcl  11242  hashfz1  11244  hashen  11245  fihashfn  11262  fihashdom  11265  hashunlem  11266  sseqn  11301  hashf1lem2  11308  zfz1iso  11315  summodclem2  12174  zsumdc  12176  prodmodclem2  12369  zproddc  12371  4sqlem11  13209  ennnfonelemen  13370  exmidunben  13375  ctinfom  13377  ctinf  13379  gsumf1ofi  14250  isnzr2  14600  znfi  15099  znhash  15100  usgrsizedgen  16659  upgr2wlkdc  16823  eupthfi  16897  pwf1oexmid  17234  nnnninfen  17270  sbthom  17277