Theorem ensymd 6749

Description: Symmetry of equinumerosity. Deduction form of ensym 6747. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensymd.1	|- ( ph -> A ~~ B )

Assertion

Ref	Expression
ensymd	|- ( ph -> B ~~ A )

Proof of Theorem ensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymd.1	. 2 |- ( ph -> A ~~ B )
2		ensym 6747	. 2 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> B ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   class class class wbr 3982   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-er 6501  df-en 6707

This theorem is referenced by:  f1imaeng  6758  f1imaen2g  6759  en2sn  6779  xpdom3m  6800  phplem4  6821  phplem4dom  6828  php5dom  6829  phpm  6831  phplem4on  6833  dif1en  6845  dif1enen  6846  fisbth  6849  fin0  6851  fin0or  6852  fientri3  6880  unsnfidcex  6885  unsnfidcel  6886  fiintim  6894  fisseneq  6897  f1ofi  6908  endjusym  7061  eninl  7062  eninr  7063  pm54.43  7146  djuen  7167  dju1en  7169  djuassen  7173  xpdjuen  7174  uzenom  10360  hashennnuni  10692  hashennn  10693  hashcl  10694  hashfz1  10696  hashen  10697  fihashfn  10713  fihashdom  10716  hashunlem  10717  zfz1iso  10754  summodclem2  11323  zsumdc  11325  prodmodclem2  11518  zproddc  11520  ennnfonelemen  12354  exmidunben  12359  ctinfom  12361  ctinf  12363  pwf1oexmid  13889  sbthom  13915