Theorem preimaf1ofi 7052

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	|- ( ph -> C C_ B )
preimaf1ofi.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
preimaf1ofi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	|- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 |- ( ph -> C e. Fin )
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
3		f1ocnv 5534	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
4		f1of1 5520	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 |- ( ph -> C C_ B )
7		f1ores 5536	. . 3 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ C C_ B ) -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
9		f1ofi 7044	. 2 |- ( ( C e. Fin /\ ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) ) -> ( `' F " C ) e. Fin )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   C_ wss 3165   `'ccnv 4673   |` cres 4676   "cima 4677   -1-1->wf1 5267   -1-1-onto->wf1o 5269   Fincfn 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829

This theorem is referenced by:  fisumss  11674  fprodssdc  11872