Theorem preimaf1ofi 7141

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	|- ( ph -> C C_ B )
preimaf1ofi.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
preimaf1ofi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	|- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 |- ( ph -> C e. Fin )
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
3		f1ocnv 5593	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
4		f1of1 5579	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 |- ( ph -> C C_ B )
7		f1ores 5595	. . 3 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ C C_ B ) -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
9		f1ofi 7133	. 2 |- ( ( C e. Fin /\ ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) ) -> ( `' F " C ) e. Fin )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   C_ wss 3198   `'ccnv 4722   |` cres 4725   "cima 4726   -1-1->wf1 5321   -1-1-onto->wf1o 5323   Fincfn 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907

This theorem is referenced by:  fisumss  11943  fprodssdc  12141