Theorem preimaf1ofi 6952

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	|- ( ph -> C C_ B )
preimaf1ofi.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
preimaf1ofi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	|- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 |- ( ph -> C e. Fin )
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
3		f1ocnv 5476	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
4		f1of1 5462	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 |- ( ph -> C C_ B )
7		f1ores 5478	. . 3 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ C C_ B ) -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
9		f1ofi 6944	. 2 |- ( ( C e. Fin /\ ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) ) -> ( `' F " C ) e. Fin )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   C_ wss 3131   `'ccnv 4627   |` cres 4630   "cima 4631   -1-1->wf1 5215   -1-1-onto->wf1o 5217   Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by:  fisumss  11402  fprodssdc  11600