Theorem preimaf1ofi 7221

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	|- ( ph -> C C_ B )
preimaf1ofi.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
preimaf1ofi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	|- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 |- ( ph -> C e. Fin )
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
3		f1ocnv 5627	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
4		f1of1 5613	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 |- ( ph -> C C_ B )
7		f1ores 5629	. . 3 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ C C_ B ) -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
9		f1ofi 7210	. 2 |- ( ( C e. Fin /\ ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) ) -> ( `' F " C ) e. Fin )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   C_ wss 3211   `'ccnv 4748   |` cres 4751   "cima 4752   -1-1->wf1 5349   -1-1-onto->wf1o 5351   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  fisumss  12078  fprodssdc  12276