Theorem preimaf1ofi 7079

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	|- ( ph -> C C_ B )
preimaf1ofi.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
preimaf1ofi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	|- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 |- ( ph -> C e. Fin )
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
3		f1ocnv 5557	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
4		f1of1 5543	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 |- ( ph -> C C_ B )
7		f1ores 5559	. . 3 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ C C_ B ) -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) )
9		f1ofi 7071	. 2 |- ( ( C e. Fin /\ ( `' F |` C ) : C -1-1-onto-> ( `' F " C ) ) -> ( `' F " C ) e. Fin )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( `' F " C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   C_ wss 3174   `'ccnv 4692   |` cres 4695   "cima 4696   -1-1->wf1 5287   -1-1-onto->wf1o 5289   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  fisumss  11818  fprodssdc  12016