Theorem f1ofi 7251

Description: If a 1-1 and onto function has a finite domain, its range is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
f1ofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem f1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeng 7037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2	1	ensymd 7064	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
3		enfii 7170	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	2, 3	syldan 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  –1-1-onto→wf1o 5374   ≈ cen 7014  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  preimaf1ofi  7262  fiinfnf1o  11208  fihasheqf1oi  11209